Matematik

Differentiering af ln(1/cos(x))

05. maj 2018 af IsabellaFF - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg forsøger at differentiere denne funktion. I eksamenssættet er det opgivet at man skal vise at f'(x)=tan(x).

$f(x) = ln(\frac{1}{cos(x)})$

Jeg starter med at bruge kædereglen hvor f(x) = ln(x) og g(x) = 1/cos(x). For at differentiere 1/cos(x), bruger jeg kvotientreglen og det er muligvis her det går galt for mig.

$h'(x) = \frac{x*cos(x)-1*sin(x)}{cos(x)^2} = \frac{cos(x)*x+sin(x)}{cos(x)*cos(x)}=\frac{x+sin(x))}{cos(x}$

Så indsætter jeg det hele i kædereglen:

$f'(x)=\frac{1}{1/cos(x)}*\frac{x+sin(x)}{cos(x)}$

Dette giver ikke umiddelbart f'(x)=tan(x), som jeg ellers skulle vise i opgaven. Er der nogen der kan hjælpe mig med hvor det går galt, og hvordan jeg finder frem til at det giver tan(x)?

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. maj 2018 af Soeffi

#0
$f(x) = ln(\frac{1}{cos(x)})=ln((cos(x))^{-1})=-ln(cos(x))$

Svar #2
06. maj 2018 af IsabellaFF

Aha, så kan jeg godt få tan(x) frem. Tusind tak.

Hvordan kan jeg i fremtiden vide at det er det jeg skal gøre? Er det i nogle specielle tilfælde at man gør sådan?

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. maj 2018 af Anders521

Differentieringen af funktionsudtrykket 1/cos(x) bør give dig følgende:

(1) ' * cos (x) - 1 * (cos (x)) ' 0 - (-sin(x)) sin (x)

------------------------------------- = -------------- = ----------------

( cos (x) ) ² ( cos (x) ) ² ( cos (x) ) ²

det sidste brøkudtryk kan skrives som tan(x) * (1/cos (x))

Brugbart svar (1)

Svar #4
06. maj 2018 af Stats

Vi ønsker at anvende kædereglen på udtrykket

$f(x) = \ln\left(\frac{1}{\cos x}\right)$

Som ønskes differentieret.

Lad derfor

$\\y=\ln u\\ u=v^{-1}\\ v=\cos x$

Hvilket giver dig

$\\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} v}\cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x} \\ \\ =\frac{1}{u}\cdot (-1)v^{-2}\cdot (-1)\sin x \\ \\ =\frac{1}{v^{-1}}\cdot (-1)\cos^{-2} x\cdot (-1)\sin x \\ \\ =\cos x\cdot (-1)\cos^{-2} x\cdot (-1)\sin x \\ \\ =\cos^{-1} x\cdot \sin x = \\ \\ \frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. maj 2018 af Soeffi

#0 f(x) = -ln(|cos(x)|) ⇒ f'(x) = tan(x), x ≠ π·(p - 1/2), p∈Z. Hvad er definitionsmængden for f?

Skriv et svar til: Differentiering af ln(1/cos(x))

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.