Matematik

tre randbetingelser hvoraf den ene er en grænseværdi (317,ii)

29. juli 2018 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Opgaven er

(i) Bestem den fuldstændige reelle løsning til di?erentialligningen

$\frac { d ^ { 4 } y } { d t ^ { 4 } } + 10 \frac { d ^ { 2 } y } { d t ^ { 2 } } + 169 y = 0$

Svar

$y ( t ) = c _ { 1 } e ^ { 2 t } \cos 3 t + c _ { 2 } e ^ { 2 t } \sin 3 t + c _ { 3 } e ^ { - 2 t } \cos 3 t + c _ { 4 } e ^ { - 2 t } \sin 3 t , c _ { 1 } , c _ { 2 } , c _ { 3 } , c _ { 4 } \in \mathbb { R }$

Denne var nem nok.

(ii)

Vis at di?erentialligningen har netop ´en partikulær løsning y = f(t) for hvilken

$f ( 0 ) = 0 , f ^ { \prime } ( 0 ) = 1 , \operatorname { og } f ( t ) \rightarrow 0 \text { for } t \rightarrow \infty$

De første to randbetingelser giver

c1+c2 = 0

-2c1 + 3c2 + 2c3 + 3c4 = 1

Jeg ved ikke hvordan jeg skal gøre brug af grænse. der står ikke noget i lærebogen om det.

Brugbart svar (1)

Svar #1
29. juli 2018 af Soeffi

#0 Du er nok nød til at kræve, at c₁ = c₂ = 0. Dette giver: $y ( t ) = c _ { 3 } e ^ { - 2 t } \cos 3 t + c _ { 4 } e ^ { - 2 t } \sin 3 t , c _ { 3 } , c _ { 4 } \in \mathbb { R }$

Prøv herfra.

Svar #2
29. juli 2018 af anonym000

c1 = c2 = 0?

Hvor kommer dette fra? Det kan ikke komme fra c1 + c2 = 0.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. juli 2018 af Soeffi

#2 Prøv at se på leddene:
$e ^ { 2 t } \cos 3 t ,\; e ^ { 2 t } \sin 3 t ,\; e ^ { - 2 t } \cos 3 t \;og\; e ^ { - 2 t } \sin 3 t$

Hvad går de mod hver især, når t går mod uendelig?

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. juli 2018 af guuoo2 (Slettet)

e første to randbetingelser giver

c1+c2 = 0

og

-2c1 + 3c2 + 2c3 + 3c4 = 1

Jeg får dem til
c1 + c3 = 0
2c1 + 3c2 - 2c3 + 3c4 = 1

Svar #5
29. juli 2018 af anonym000

#3
#2 Prøv at se på leddene:
$e ^ { 2 t } \cos 3 t ,\; e ^ { 2 t } \sin 3 t ,\; e ^ { - 2 t } \cos 3 t \;og\; e ^ { - 2 t } \sin 3 t$

Hvad går de mod hver især, når t går mod uendelig?

Jeg ved ikke hvordan jeg skal håndtere de geometriske faktorer. exp(2t) går mod uendelig og exp(-2t) går mod nul.

- - -

...............

Brugbart svar (1)

Svar #6
29. juli 2018 af peter lind

Det betyder at e^2tcos(3t) og e^2tsin(3t) ikke har nogen græseværdi. Når kravet er at f(t) -> 0 for t.-> ∞ kan det ikke være opfyldt for c1 og c2 forskellig fra 0. altså må c1 og c2 være 0

Brugbart svar (1)

Svar #7
29. juli 2018 af guuoo2 (Slettet)

Du har ledene
$c_1e ^ { 2 t } \cos 3 t ,\ c_2e ^ { 2 t } \sin 3 t ,\ c_3e ^ { - 2 t } \cos 3 t,\ c_4e ^ { - 2 t } \sin 3 t$

De to sidste går mod 0 uanset hvad c3 og c4 er.
Du mangler så at vise at summen de to første led kun eksisterer hvis c1 og c2 er 0.

I grænsen forekommer det uendeligt ofte at cos(3t) er lig 1, mens sin(3t) er lig 0.
Ligeledes forekommer det uendeligt ofte at cos(3t) er lig -1, mens sin(3t) er lig 0.

Dvs. uanset hvad c₂ er, så konvergerer summen kun hvis c₁e^2t går mod 0, dvs. c₁ = 0.
Tilsvarende findes c₂ = 0.

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. juli 2018 af guuoo2 (Slettet)

#6 Summen af to divergente led kan godt konvergerer.

Brugbart svar (0)

Svar #9
29. juli 2018 af peter lind

#8 men det gør de ikke her

Svar #10
29. juli 2018 af anonym000

#6
Det betyder at e^2tcos(3t) og e^2tsin(3t) ikke har nogen græseværdi. Når kravet er at f(t) -> 0 for t.-> ∞ kan det ikke være opfyldt for c1 og c2 forskellig fra 0. altså må c1 og c2 være 0

Aha...

nu har jeg løst den.

- - -

...............

Skriv et svar til: tre randbetingelser hvoraf den ene er en grænseværdi (317,ii)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.