Plat eller krone

At kaste én mønt 10000 gange svarer vel til at kaste 5 mønter 2000 gange,
så umiddelbart tænker jeg, at du skal have gang i binomialfordelingen,
hvor sandsynligheden for succes p (5 plat i ét kast) er (1/2)⁵

Opdager lige, at der står ....mindst én gang.... så du skal faktisk
finde summen af sandsynlighederne for at få 5 plat i ét kast en gang
plus to gange plus osv, det gøres nemmest ved at beregne sandsynligheden
for ikke at få 5 plat i ét kast og trække det fra 1

P(X>1) = 1 - P(X=0)

Det giver noget helt forkert at bruge binomialfordelingen, fordi når man kaster 2 gange med 5 mønter og får
   K,K,P,P,P og P,P,K,K,K
så er der ingen success ifølge binomialfordelingen, selvom man fik 5 plat i træk.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 

Du skal sige:
   sandsynlighed = "antal gunstige udfald" / "antal udfald"
eller
   sandsynlighed = ("antal udfald" - "antal ugunstige udfald") / "antal udfald"

Antal udfald når en mønt kastes 10000 gange er 2¹⁰⁰⁰⁰.

Antal ugunstige udfald g(n) ved kast af n mønter:
Hvis man kaster 0 ≤ n ≤ 4 mønter, så er der aldrig 5 plat i træk.
Dvs. der er kun ugunstige udfald og antallet er g(n) = 2ⁿ (samme antal som antal udfald i alt).

Hvis n ≥ 5 så er g givet ved  g(n) = g(n-1) + g(n-2) + g(n-3) + g(n-4) + g(n-5)

Dvs. sandsynligheden er

(2¹⁰⁰⁰⁰ - g(10000)) / 2¹⁰⁰⁰⁰ = 12469144480504739905523388516772406773896855199288702842825055
                                               93658089926885396610204802838410283355738603762260631731513603
                                               3140502883991361277441461.........3010 cifre i alt
                                             ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                               12469144480504739905523388516772406773896855199288702842825055
                                               93658089926888871664494997605252262162368708195588950570266972
                                               280709338361319849.........3010 cifre i alt
                                           ≈
                                               0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
                                                999999999999997213

Dvs. det er meget sandsynligligt, at du har fået 5 i træk efter 10000 kast.

Tak. Jeg forstår ikke helt hvordan man beregner g(n-1) og g(n-2) osv?

#0. Jeg tror, at opgaven minder om denne, som der dog aldrig blev enighed om!

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1510473

Når 0 ≤ n ≤ 4 så er g(n) = 2ⁿ

Derefter fås for n=5
  g(n) = g(n-1) + g(n-2) + g(n-3) + g(n-4) + g(n-5)
  g(5) = g(4)     + g(3)     + g(2)     + g(1)     + g(0)
  g(5) = 2⁴       + 2³       + 2²       + 2¹       + 2⁰ = 31

For at finde g(6) skal du igen addere de 5 senest fundne funktionsværdier:
  g(6) =  g(5) + g(4) + g(3) + g(2) + g(1)

Osv. op til g(10000)

Ham her foreslår en lidt anden måde at regne på: https://youtu.be/rwvIGNXY21Y

Med din metode og 100 kast får jeg 3% og med hans metode får jeg 4%. Hvad synes du?

#7 Det er vist ikke helt det samme. Der er to måder at gøre det på:

1) Du slår 10000 gange og ser hvor mange gange, at der optræder 5 plat i træk. 

2) Du slår 5 gange og ser om det er 5 plat. Dette gentages 2000 gange. Det er det som jeg tror, at han gør.

Antag at de 10 første udfald er: PKPPPPPKKP. Ifølge den første måde at regne på er dette en succes. I følge den anden er det en fiasko.

Det er sandsynligheden for at ingen ud af 100 separate forsøg med 5 kast giver udfaldet PPPPP.
Hvis de to første forsøg giver PPPKP og PPPPK, så er det ingen success.

Hvis du i stedet lader samtlige 500 kast udgøre 1 forsøg, så er det en succes, hvis de første ti kast giver PPPKP-PPPPK, da der er 5 plat i træk. Dermed er sandsynligheden for ingen succes markant mindre:

#8

Angående1). Antag: PPKKPKPKKPPPKKKKKKPPPPPPKPP...KPPKP

Start i position nr.1 og marker denne og de fire næste: PPKKPKPKKPPPKKKKKKPPPP...PPKPP.

Undersøg om der er fem plat. Sandsynlighed = 0,5⁵. Forsæt henad indtil position 9996:..PPKPP.

Dvs. det er en Bernouilli-proces med p = 0,5⁵ = 0,03125 og N = 10000 - 5 + 1 = 9996 forsøg. 

Dermed får man: P(0) = binomPdf((10000+1-5),0.5⁵,0) ? 1.5·10⁻¹³⁸.

Angående 2): P(0) = binomPdf((10000/5),0.5⁵,0) ? 2.7·10⁻²⁸.

Det er ikke en bernoulli process:
A Bernoulli process is a finite or infinite sequence of independent random variables such that
   1. For each i, the value of X_i is either 0 or 1;
   2. For all values of i, the probability that Xi = 1 is the same number p.

Kun sidste linje i #10 er rigtig.

#10 Hvorfor skulle X'erne ikke være uafhængige?

#12 Hvis vi skruer ned og kaster 3 gange, og lader 2 plat i træk være det utilladelige, så er N=2,
og de mulige udfald er

PPP           X₁ = falsk     X₂ = falsk
PPK           X₁ = falsk     X₂ = sand
PKP           X₁ = sand     X₂ = sand
PKK           X₁ = sand     X₂ = sand
KPP           X₁ = sand     X₂ = falsk
KPK           X₁ = sand     X₂ = sand
KKP           X₁ = sand     X₂ = sand
KKK           X₁ = sand     X₂ = sand

Hvoraf vi har sandsynlighederne
P(X₁ = falsk) = 2/8
P(X₂ = falsk) = 2/8
P(X₁ = falsk  og  X₂ = falsk) = 1/8

Hvis X_i'erne var uafhængige skulle den tredje sansynlighed være produktet af de to første, dvs. 1/16.

#0 Jeg har prøvet at lave en simulering og får, at sandsynligheden for 0 succeer er ca.: binomPdf(10000/2,0,5⁵,0)...?!

For n=6 er der 2⁶ = 64 udfald. Og antal ugunstige udfald g(6) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 = 62.

Men burde der ikke være 3 gunstige udfald? PPPPPK og KPPPPP og PPPPPP

#15

For n=6 er der 2⁶ = 64 udfald. Og antal ugunstige udfald g(6) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 = 62.

Men burde der ikke være 3 gunstige udfald? PPPPPK og KPPPPP og PPPPPP

Jo, når n ≥ 5 så er
g(n) = g(n-1) + g(n-2) + g(n-3) + g(n-4) + g(n-5)

Dvs.
g(6) = g(5) + g(4) + g(3) + g(2) + g(1)
       = 31 + 16 + 8 + 4 + 2
       = 61

Ahh nu forstår jeg det.

Hvad så når det er en terning istedet (sandsynlighed for at slå 6 fem gange i træk). Jeg tænker at jeg bare udskifter 2 med 6 i formlen, men det giver allerede en sandsynlighed på 99% efter 9 kast hvilket lyder forkert.

Fx:

g(5) = 6⁴ + 6³ + 6² + 6¹ + 6⁰ = 1555

P = (6⁵ - 1555)/6⁵ = 80%

Kald terningens antal sider for k
Lad en success være, at der i n kast mindst en gang bliver slået en bestemt side af terningen m gange i træk.

Hvis 0 ≤ n ≤ m - 1, så er samtlige udfald ugunstige, dvs. antal ugunstige udfald er
    g(n) = kⁿ
For n ≥ m, så gælder
    g(n) = (k - 1)·(g(n - 1) + g(n - 2) + .... + g(n - m))

Møntens to sider gjorde (k - 1) til et usynligt 1-tal.

For den 6-sidet terning bliver det
g(5) = (6 - 1)·(6⁴ + 6³ + 6² + 6¹ + 6⁰) = 7775

Ihh hvor er det smart! Tusind tak for hjælpen.

Det giver 1% efter 98 terningkast hvis nogen er interesseret.