Matematik

Rækken \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { n } { n ^ { 5 } + 1 } (521, ho5)

31. august 2018 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Opgaveformuleringen er vedhæftet.

(iii) Jeg skal finde en approksimation for

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { n } { n ^ { 5 } + 1 }$

via afsnitssummen med en fejl som ikke overstiger ε=0.05.

______________________

Tanker jeg har tænkt

- for N >>1 gælder

$\frac { n } { n ^ { 5 } + 1 } \approx \frac { 1 } { n ^ { 4 } }$

Derfor kan jeg bruge

$\sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \leq \frac { 4 } { 3 } \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 3 } }$

til at konkludere

$\sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } \frac { n } { n ^ { 5 } +1 } \leq \frac { 4 } { 3 } \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 3 } }$

Da ovenstående ikke må overstige ε = 0.05 så har man netop

$\frac { 4 } { 3 } \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 3 } } \le \epsilon$

Ved at isolere N har jeg bestemt en værdi for N som der bliver spurgt om.

(iv) Her kan jeg vel bruge integralkriteret. Her regner jeg bare

$\sum _ { n = 1 } ^ { N } f ( n ) + \int _ { N + 1 } ^ { \infty } f ( x ) d x$

som ikke overstiger en afvigelse på 0.05.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-08-31 kl. 12.23.03.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. august 2018 af AskTheAfghan

(iii) Man vælget et naturligt N opfyldende N ≥ (4/(3ε))^1/3 - 1.

Hvis ε ≤ 0.05, kan N være 2 eller større end det.

(iv) Hvis jeg forstår opgaven rigtigt, så da

$\int_{3}^{\infty}\frac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x\leq \sum_{n=3}^{\infty}\frac{n}{n^4+1}\leq \frac{3}{82}+\int_{3}^{\infty}\frac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x$

har man

$\frac{21}{34}+\int_{3}^{\infty}\frac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^4+1}\leq \frac{456}{697}+\int_{3}^{\infty}\frac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x$

Når man beregner integralet vha. et CAS-værktøj, viser det, at summen ligger i [0.6729, 0.7096].

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. august 2018 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. august 2018 af swpply (Slettet)

Delopgave (iii): Du har i opgave delopgave (i) vist at der for et vilkårligt tælletal n gælder uligheden (F.24). Hvorfor der specielt gælder følgende ulighed:

$\sum_{n=N+1}^\infty\frac{n}{n^5 +1} \leq \sum_{n=N+1}^\infty\frac{1}{n^4}$

Det er givet at der for et vilkårligt tælletal N gælder uligheden (F.25). Hvorfor at du kan slutte

$\sum_{n=N+1}^\infty\frac{n}{n^5 +1} \leq \frac{4}{3}\frac{1}{(N+1)^3}$ .

Ønsker du derfor at

(1) $\sum_{n=N+1}^\infty\frac{n}{n^5 +1} \leq 0.05$ ,

skal du altså løse uligheden

$\frac{4}{3}\frac{1}{(N+1)^3} \leq 0.05$ .

Hvorfor du finder at

$N\geq\bigg(\frac{80}{3}\bigg)^\frac{1}{3} > 2$ .

Altså garantere N=2 at (1) er opfyldt.

Delopgave (iv): Lad R(N) benævne fejlen hørende til den N'te afsnitsum. Altså er

$\begin{align*} R(N) &\equiv \sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^5+1} - \sum_{n=1}^N\frac{n}{n^5+1} \\ &= \sum_{n=N+1}^\infty\frac{n}{n^5+1} \end{align*}$

Strengtaget skal vi kræve at rækken er absolut konvergent for at sidte lighed er gyldig.

Altså svare en fejl på højest 0.05 til at bestemme R(N) ≥ 0.05. Men fra forrige delopgave har vi at dette er opfyldt for N=2. Hvorfor at

$\begin{align*} \sum_{n=1}^2\frac{n}{n^5 + 1} &= \frac{1}{2} + \frac{2}{33} \\ &= \frac{37}{66} \end{align*}$

er summen af rækken (F.23) med en fejl på højst 0.05.

NB. Alt dette kunne indikere at den N'te afsnitssum til rækken (F.23) ret hutigt konvagere til dens "sum".

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. september 2018 af swpply (Slettet)

for N >>1 gælder
$\frac { n } { n ^ { 5 } + 1 } \approx \frac { 1 } { n ^ { 4 } }$

Dette er ikke stringent matematik indenfor den konventionelle/klassiske analyse.

1) Hvad er den eksakte definition af N >> 1 ?
Jeg ved hvad N > 1 eksakt betyder, men ikke hvad der præcist menes med N >> 1. For hvornår er N meget
MEGET større end 1?? Det er ren og skær volapük.

2) Det samme gælder for sybolet ≈. For hvornår er noget omtrent ligmed noget andet. Enten er A = B eller er
A ≠ B.

Det jeg prøver at sige, er at såfremt at du er ved at studere analyse. Så er det slet matemstisk "sprogbrug" at bruge en sådan notation til sit ræsonnement.

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. september 2018 af swpply (Slettet)

#3
$N\geq\bigg(\frac{80}{3}\bigg)^\frac{1}{3} > 2$ .

Dette er en taste fejl. Her bør der selvfølgelig havde stået

$N\geq2>\bigg(\frac{80}{3}\bigg)^\frac{1}{3}-1$

Svar #6
02. september 2018 af anonym000

Er det OK hvis vi går alle delopgaverne igennem ?

(i) Jeg skal vise at

$\frac { n } { n ^ { 5 } + 1 } \leq \frac { 1 } { n ^ { 4 } } , \quad \forall n \in \mathbb N$

Det første jeg ikke forstår er hvorfor man har valgt at bruge ≤ istf. <.

$\frac { n } { n ^ { 5 } + 1 }$ er jo aldrig lig med $\frac { 1 } { n ^ { 4 } }$ , af den grund kan jeg ikke se hvorfor det er relevant at bruge ≤. Jeg havde valg < fordi der gælder

$\frac { n } { n ^ { 5 } + 1 } < \frac { 1 } { n ^ { 4 } } , \quad \forall n \in \mathbb { N }$ .

Jeg har svaret på følgende måde

Sætning:

$\frac { n } { n ^ { 5 } + 1 } < \frac { 1 } { n ^ { 4 } } , \quad \forall n \in \mathbb { N }$ *

Bruger at

$\frac { n } { n ^ { 5 } } = \frac { 1 } { n ^ { 4 } } , \quad \forall n \in \mathbb { N }$ **

Sammenligner * med **.

$n^5 < n^5 + 1$

så må der gælde

$\frac { n } { n ^ { 5 } + 1 } < \frac { 1 } { n ^ { 4 } } , \quad \forall n \in \mathbb { N }$

Dette er min forslag. Jeg ved godt at det ikke er helt rigtigt, så kom gerne med feedback.

- - -

...............

Svar #7
02. september 2018 af anonym000

(ii) Jeg har før vist at

$\sum_{n=1}^\infty 1/n^\alpha, \quad n \in \mathbb N , \alpha >1$

er konvergent (så vidt jeg husker viste jeg også at den er konvergent for 0<alpha<1, kan dog godt være at jeg husker forkert). Derfor kan jeg via sammenligningskriteret konkludere: fordi

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 4 } }$

er konvergent så er

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { n } { n ^ { 5 } + 1 }$

også konvergent.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. september 2018 af swpply (Slettet)

DELOPGAVE (i):

Lad n benævne et vilkårligt naturligt tal (tælletal, positivt heltal, kært barn har mange navne). Da er det åbenlyst at følgende er sandt:

$n^5+1\geq n^5.$

Hvorfor at det nødvendigvist følger at

$\frac{1}{n^5+1}\leq \frac{1}{n^5}$

og "positiviteten" af n sikre os at hvis vi ganger begge sider af ovenstående ulighed med n, så gælder uligheden stadig. Altså har vi at

$\frac{n}{n^5+1}\leq \frac{n}{n^5} = \frac{1}{n^4}.$

Hvilket er hvad du skal vise.

Svar #9
02. september 2018 af anonym000

#8
DELOPGAVE (i):

Lad n benævne et vilkårligt naturligt tal (tælletal, positivt heltal, kært barn har mange navne). Da er det åbenlyst at følgende er sandt:

$n^5+1\geq n^5.$

Hvorfor at det nødvendigvist følger at

$\frac{1}{n^5+1}\leq \frac{1}{n^5}$

og "positiviteten" af n sikre os at hvis vi ganger begge sider af ovenstående ulighed med n, så gælder uligheden stadig. Altså har vi at

$\frac{n}{n^5+1}\leq \frac{n}{n^5} = \frac{1}{n^4}.$

Hvilket er hvad du skal vise.

Fint, det var det jeg gjorte i går aftens :-)

Du må gerne kommentere det med ≤ vs. <.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #10
02. september 2018 af swpply (Slettet)

#7
(ii) Jeg har før vist at

$\sum_{n=1}^\infty 1/n^\alpha, \quad n \in \mathbb N , \alpha >1$

er konvergent (så vidt jeg husker viste jeg også at den er konvergent for 0<alpha<1, kan dog godt være at jeg husker forkert). Derfor kan jeg via sammenligningskriteret konkludere: fordi

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 4 } }$

er konvergent så er

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { n } { n ^ { 5 } + 1 }$

også konvergent.

Dette er helt korrekt.

Du kan måske gøre din argumentation mere klar.

Rækken $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}$ er konvergent eftersom $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^a}$ er konvergent for samtlige a > 1.

Eftersom at $\frac{n}{n^5 + 1} \geq 0$ og $\frac{1}{n^4}\geq0$ (for samtlige n = 1, 2, 3, ...) samt at vi af forrige opgave har at $\frac{n}{n^5 +1}\leq\frac{1}{n^4}$ for ethvert n = 1, 2, 3, ... . Følger det af sammenligningskriteriet at rækken $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^5 + 1}$ ligeså er konvergent.

Brugbart svar (0)

Svar #11
02. september 2018 af swpply (Slettet)

Delopgave (iii) og (iv) er gennemgået i svar #3.

Bemærk endelig mine komentar i svar #4 og #5.

Svar #12
02. september 2018 af anonym000

Tak, det er meget fyldstgørende.

Hvad med mit spm. i #6.

"Det første jeg ikke forstår er hvorfor man har valgt at bruge ≤ istf. <. " ?

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #13
02. september 2018 af swpply (Slettet)

#12
Tak, det er meget fyldstgørende.

Hvad med mit spm. i #6.

"Det første jeg ikke forstår er hvorfor man har valgt at bruge ≤ istf. <. " ?

Du er velkommen, jeg håber at du har lært af at kæmpe med opgaven. Min egen personlig erfaring har lært mig at det er de opgaver man slås med der virkeligt rykker ens forståelse af et emne.

Du har ret, det er sandt at
$\frac{n}{n^5+1}<\frac{1}{n^4}$

er sand for alle n = 1, 2, 3, ... . Men ligeså er

$\frac{n}{n^5+1}\leq\frac{1}{n^4}$ .

Altså er det simple svar til dit spørgmål, de bruger ≤ fordi at det stadig gør udsagnet er sand (selvom at uligheden general holder for <) og vi skal ikke gøre bruge af at uligheden holder for <. Vi kan altså nøjes med at bruge ≤ fremfor <.
Dette vil du se igen og igen når du læser matematik (og ikke kun gældende for uligheder, men også med mængde inklusionerne ⊆ vs. ⊂). I matematikken ønsker man ikke at bruge (og bevise) en minimal mængde af krav for at man kan vise hvad man ønsker at vise. Et udsagn A < B er mere streng end udsagnet A ≤ B, eftersom at udsagnet

$\forall A,B\in\mathbb{R}\,:\,A\leq B\quad\Rightarrow\quad A<B$ ,

er sand. Hvor impikation ⇒ ikke gælder den omvendte vej, altså udagnet

$\forall A,B\in\mathbb{R}\,:\,A< B\quad\Rightarrow\quad A\leq B$

er falsk.
Det jeg prøver at sige er, at det er slet ræsonnement at overspecificere ved at bruge udnødvendig strenge udsagn. Brug altså altid det "weakest"/svageste mulig udsagn der stadig er sand og muliggør dit bevis.

Svar #14
02. september 2018 af anonym000

#13
#12
Tak, det er meget fyldstgørende.

Hvad med mit spm. i #6.

"Det første jeg ikke forstår er hvorfor man har valgt at bruge ≤ istf. <. " ?

Du er velkommen, jeg håber at du har lært af at kæmpe med opgaven. Min egen personlig erfaring har lært mig at det er de opgaver man slås med der virkeligt rykker ens forståelse af et emne.

Du har ret, det er sandt at
$\frac{n}{n^5+1}<\frac{1}{n^4}$

er sand for alle n = 1, 2, 3, ... . Men ligeså er

$\frac{n}{n^5+1}\leq\frac{1}{n^4}$ .

Altså er det simple svar til dit spørgmål, de bruger ≤ fordi at det stadig gør udsagnet er sand (selvom at uligheden general holder for <) og vi skal ikke gøre bruge af at uligheden holder for <. Vi kan altså nøjes med at bruge ≤ fremfor <.
Dette vil du se igen og igen når du læser matematik (og ikke kun gældende for uligheder, men også med mængde inklusionerne ⊆ vs. ⊂). I matematikken ønsker man ikke at bruge (og bevise) en minimal mængde af krav for at man kan vise hvad man ønsker at vise. Et udsagn A < B er mere streng end udsagnet A ≤ B, eftersom at udsagnet

$\forall A,B\in\mathbb{R}\,:\,A\leq B\quad\Rightarrow\quad A<B$ ,

er sand. Hvor impikation ⇒ ikke gælder den omvendte vej, altså udagnet

$\forall A,B\in\mathbb{R}\,:\,A< B\quad\Rightarrow\quad A\leq B$

er falsk.
Det jeg prøver at sige er, at det er slet ræsonnement at overspecificere ved at bruge udnødvendig strenge udsagn. Brug altså altid det "weakest"/svageste mulig udsagn der stadig er sand og muliggør dit bevis.

Det er faktisk en rigtig god forklaring! Tak.

Problemet var altså for mig at forstå forskellen ml. < og ≤.

- - -

...............

Skriv et svar til: Rækken \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { n } { n ^ { 5 } + 1 } (521, ho5)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.