Matematik

Vis funktion f ikke er injektiv. Er den surjektiv?

18. september 2018 af polit18 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg håber at der nogle, som kan hjælpe mig med følgende opgave :)

Betragt den funktion f : R --> R, som er givet ved forskriften

f(x) = { x²+x⁴, for x ∈ Q og 2, for x ∈ R\Q

Vis, at funktionen f ikke er injektiv. Er f surjektiv?

Vis, at f er en lige funktion, altså at

∀ x ∈ R : f(-x) = f(x)

Tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. september 2018 af guuoo2

Hvis f er injektiv, så gælder f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂ for alle valg af x₁ og x₂, men påstanden er falsk hvis x₁ = π og x₂ = e.

Da domænet er R, så gælder 0 ≤ x² + x⁴, dvs. f(x) = -1 har ingen løsning, og f er derfor ikke surjektiv.

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. september 2018 af peter lind

Dit eksempel på ikke injektiv er ikke gyldig. Derimod gælder at f(-1) = f(+1) eller generelt for x ∈ R\{0} f(-x) = f(x)

Svar #3
18. september 2018 af polit18

Jeg forstår ikke jeres eksempler... Kan i uddyde, hvad i mener?

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. september 2018 af guuoo2

Injektivitetsbetingelsen er f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂.

Når man indsætter x₁ = π og x₂ = e bliver den til

f(π) = f(e) => π = e
2 = 2 => π = e
sand => falsk

som er en logisk modstrid. Derfor kan f ikke være injektiv.

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. september 2018 af swpply (Slettet)

Ydeligere gælder der at $f$ ikke er surjektiv eftersom mængden af rationale tal $\mathbb{Q}$ med de sædvanlige regneopreationer $(+,\cdot)$ er en ring. Altså gælder der specielt at $\mathbb{Q}$ er lukket under multiplikation, hvorfor at både $x^2$ og $x^4$ er rationale tal såfremt at $x$ selv er et rationale tal. Desuden er $\mathbb{Q}$ lukket under addition hvorfor at også $x^2+x^4$ igen er et rationale tal for ethvert $x\in\mathbb{Q}$ .

Hermed kan du konkludere at er billedmængden af $f$ nødvendigvis må være en delmængde af $\mathbb{Q}\cup\{2\}$ (husk at productet af to irationale tal enten er et rationale tal eller et irationale tal, tilsvarende er sandt for addition), hvorfor $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ikke er surjektiv

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Sorry, jeg havde ikke set at guuoo2 havde skrevet følgende

#1
Da domænet er R, så gælder 0 ≤ x2 + x4, dvs. f(x) = -1 har ingen løsning, og f er derfor ikke surjektiv.

My mistake :-)

Skriv et svar til: Vis funktion f ikke er injektiv. Er den surjektiv?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.