Matematik

Hjælp til Sandsynlighedsteori og statistik

22. september kl. 19:09 af villy12222 - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg spørger lige igen - Ingen der kan hjælpe med disse opgaver?

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1849622

Svaret til 1) er 1/2^(k-1), mens svaret til 2) er 0,99999 - Hvordan viser jeg dette - en eller anden please?


Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september kl. 19:31 af SådanDa

1) Hvis k=2 er dine succes-muligheder: PP eller KK. Dvs. P(X=2)=2·(1/2)2

Hvis k=3 er mulighederne KPP eller PKK, hvorfor P(X=3)=2·(1/2)3

Hvis k=n er mulighederne PKPK...KPP (n udfald) eller KPKP...PKK (n udfald) hvorfor P(X=n)=2·(1/2)n  (I hvert fald hvis n er lige, hvis n er ulige er det helt tilsvarende man skal blot sige KPKP...KPP, tænk over det!)
 

2) Sandsynligheden for at højst 1 bryder sammen er det samme som 1 - sandsynligheden for begge bryder sammen. Hændelserne er uafhængige så du for P(højst en bruder sammen)=1-P(maskine 1 bryder sammen)·P(maskine 2 bryder sammen) = 1- 0.01·0.01


Brugbart svar (0)

Svar #2
23. september kl. 00:08 af Doic

Ahhhhh ok - Jeg formoder, at grunden til du ganger med 2 hos "2*(1/2)^n", er fordi der er tale om enten to plat eller 2 krone

Er det muligt, du kan hjælpe med denne opgave?

Vedhæftet fil:U.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. september kl. 00:11 af Doic

Til opgave 1) formoder jeg, at for at vise uafhængighed, skal der gælde P(A)∩P(B)=P(A)P(B)

2) er jeg lidt i tvivl om...


Brugbart svar (0)

Svar #4
23. september kl. 02:17 af SådanDa

P(A)∩P(B)=P(A)P(B) giver ikke mening da P(A) og P(B) ikke er mængder, du mener nok P(A∩B)=P(A)P(B).

1) "<=" er lige til, prøv at udregne P(A∩B), først hvor A=S og så hvor A=∅, sammenlign med P(A)P(B)

"=>" Antag at A,B⊆S er uafhængige hændelser, og kald #A=a og #B=b, regn på P(A∩B)=P(A)P(B)=(a/n)·(b/n)=ab/n2. Sammentidigt har du at P(A∩B)=(#A∩B)/n. Der skal altså gælde at (#A∩B)/n=ab/n2 eller med andre ord at (#A∩B)=ab/n. Hvornår gælder det? Husk at n er et primtal!

2) Prøv med n=4. Kan du finde A,B⊂{1,2,3,4} således at A og B er uafhængige? Prøv dig frem, regn P(A∩B) og se om det giver det samme som P(A)P(B). Husk at A og B ikke må være hele S eller ∅. 


Brugbart svar (0)

Svar #5
23. september kl. 02:19 af SådanDa

mht. #2 har du ret, der ganges med 2 da sandsynligheden for KPP er den samme som sandsynligheden for PKK osv.


Brugbart svar (0)

Svar #6
23. september kl. 02:29 af VandalS

#3 Du har ret. Du har direkte, at

P(A\cap B)=\frac{\#(A\cap B)}{n}

og hvis du antager uafhængighed, at

P(A\cap B)= \frac{\#A}{n} \cdot \frac{\#B}{n}.

Af dette får du, at

\#(A\cap B) \cdot n= \#A \cdot \#B,

hvorefter du kan benytte hintet.

For at vise den anden implikation kan du benytte direkte udregning.

Til 2) kan du f.eks. vælge n=8 og konstruere to sæt, hvor sandsynligheden for fællesmængden er den samme som produktet af sandsynligheden for hvert sæt for sig.


Brugbart svar (0)

Svar #7
23. september kl. 02:42 af swpply

Opgave 1):
Lad n\geq3 være et primtal. Antag at A\subseteq S og B\subseteq S er uafhængige begivenheder, da gælder er pr. definition at

                                                 \begin{align*} P(A\cap B) &= P(A)P(B) \\ &= \frac{\#A\cdot\#B}{n^2} \end{align*}

Samtid har vi at der for to arbitrær mængder gælder at

                               \#(A\cap B) = \#A + \#B - \#(A\cup B)

hvorfor at

                            \begin{align*} P(A\cap B) &= \frac{\#(A\cap B)}{n} \\ &= \frac{\#A}{n} + \frac{\#B}{n} - \frac{\#(A\cup B)}{n} \end{align*}

Vi har hermed at

                            \frac{\#A}{n} + \frac{\#B}{n} - \frac{\#(A\cup B)}{n} = \frac{\#A\cdot\#B}{n^2}

hvorfor at

                                \#A + \#B - \#(A\cup B) = \frac{\#A\cdot\#B}{n}

Observer nu at venstre siden er et ikke negativt heltal hvor at højresiden ligeledes må være et ikke negativt heltal. Der skal derfor gælde at primtalet n\geq3 er en divisorer i \#A\cdot\#B. Brug nu hintet til opgaven til at slutte at A=\emptyset eller A=S og B=\emptyset eller B=S.

Du mangler nu at vise den modsatte vej. Antag nu at A=\emptyset eller A=S og B=S eller B=\emptyset og vis ved direkte udregning at der gælder at

                                           P(A\cap B) = P(A)P(B)

Q.E.D


Skriv et svar til: Hjælp til Sandsynlighedsteori og statistik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.