Hjælp til Sandsynlighedsteori og statistik

1) Hvis k=2 er dine succes-muligheder: PP eller KK. Dvs. P(X=2)=2·(1/2)²

Hvis k=3 er mulighederne KPP eller PKK, hvorfor P(X=3)=2·(1/2)³

Hvis k=n er mulighederne PKPK...KPP (n udfald) eller KPKP...PKK (n udfald) hvorfor P(X=n)=2·(1/2)ⁿ  (I hvert fald hvis n er lige, hvis n er ulige er det helt tilsvarende man skal blot sige KPKP...KPP, tænk over det!)
 

2) Sandsynligheden for at højst 1 bryder sammen er det samme som 1 - sandsynligheden for begge bryder sammen. Hændelserne er uafhængige så du for P(højst en bruder sammen)=1-P(maskine 1 bryder sammen)·P(maskine 2 bryder sammen) = 1- 0.01·0.01

Ahhhhh ok - Jeg formoder, at grunden til du ganger med 2 hos "2*(1/2)^n", er fordi der er tale om enten to plat eller 2 krone

Er det muligt, du kan hjælpe med denne opgave?

Til opgave 1) formoder jeg, at for at vise uafhængighed, skal der gælde P(A)∩P(B)=P(A)P(B)

2) er jeg lidt i tvivl om...

P(A)∩P(B)=P(A)P(B) giver ikke mening da P(A) og P(B) ikke er mængder, du mener nok P(A∩B)=P(A)P(B).

1) "<=" er lige til, prøv at udregne P(A∩B), først hvor A=S og så hvor A=∅, sammenlign med P(A)P(B)

"=>" Antag at A,B⊆S er uafhængige hændelser, og kald #A=a og #B=b, regn på P(A∩B)=P(A)P(B)=(a/n)·(b/n)=ab/n². Sammentidigt har du at P(A∩B)=(#A∩B)/n. Der skal altså gælde at (#A∩B)/n=ab/n² eller med andre ord at (#A∩B)=ab/n. Hvornår gælder det? Husk at n er et primtal!

2) Prøv med n=4. Kan du finde A,B⊂{1,2,3,4} således at A og B er uafhængige? Prøv dig frem, regn P(A∩B) og se om det giver det samme som P(A)P(B). Husk at A og B ikke må være hele S eller ∅. 

mht. #2 har du ret, der ganges med 2 da sandsynligheden for KPP er den samme som sandsynligheden for PKK osv.

#3 Du har ret. Du har direkte, at

og hvis du antager uafhængighed, at

.

Af dette får du, at

,

hvorefter du kan benytte hintet.

For at vise den anden implikation kan du benytte direkte udregning.

Til 2) kan du f.eks. vælge og konstruere to sæt, hvor sandsynligheden for fællesmængden er den samme som produktet af sandsynligheden for hvert sæt for sig.

Opgave 1):
Lad  være et primtal. Antag at  og  er uafhængige begivenheder, da gælder er pr. definition at

Samtid har vi at der for to arbitrær mængder gælder at

hvorfor at

Vi har hermed at

hvorfor at

Observer nu at venstre siden er et ikke negativt heltal hvor at højresiden ligeledes må være et ikke negativt heltal. Der skal derfor gælde at primtalet  er en divisorer i . Brug nu hintet til opgaven til at slutte at  eller  og  eller .

Du mangler nu at vise den modsatte vej. Antag nu at  eller  og  eller  og vis ved direkte udregning at der gælder at

Q.E.D