Matematik

Integration ved substitution

10. oktober 2018 af der2o0 - Niveau: A-niveau

Jeg ønsker at integrere $\int x*\sqrt{x^2-2} dx$ vha. integration ved substitution. Jeg har $t=x^2-2$ og hermed $dx=\frac{1}{2x}dt$ Hvis jeg indsætter, så får jeg $\int x*\sqrt{t}*\frac{1}{2x}dt$

Men hvad gør jeg nu? Jeg ved godt, at jeg skal reducere og substituere tilbage, men jeg ved blot ikke, hvordan jeg kommer videre...

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. oktober 2018 af SuneChr

Vi må ikke have to variable x og t stående under samme integraltegn.
Vi har x dx = ¹/₂ dt

$\frac{1}{2}\int \sqrt{t}\, \textup{d}t$ Udregn først integralet og substituér dernæst tilbage, så det hele står i variablen x.

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. oktober 2018 af guuoo2

   $\int x*\sqrt{t}*\frac{1}{2x}dt$
x står i tælleren og nævner (eller som faktor og divisor) og går derfor ud
   $\int \sqrt{t}*\frac{1}{2}dt$
konstanten kan sættes uden for, og kvadratroden er det samme som opløftet i ½
   $\frac{1}{2}\int t^{1/2}dt$

Svar #3
10. oktober 2018 af der2o0

Yes, mange tak. Jeg sad faktisk og rodede lidt videre og kom frem til det samme som #2; tak for bekræftelsen. Jeg må dog lige spørge: Betegnelsen $xdx$ har jeg dog ikke stødt på før. Nu har jeg også kun lige startet på integration ved substitution, men hvordan ville beregningerne så se ud? Eller blander jeg noget sammen??

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. oktober 2018 af guuoo2

Differentieres mht. x på begge sider af $t=x^2-2$ bliver det
$\frac{dt}{dx}=2x$
Derefter betragtes venstresiden som en brøk, hvormed dx kan isoleres ved at gange med dx og dividere med 2x på begge sider: (ikke dt, men dx isoleres, da det givne integral har x som integrationsvariabel)
$\frac{1}{2x}dt=dx$

Skriv et svar til: Integration ved substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.