Matematik

forskrift for A

22. oktober 2018 af mortenmp12 (Slettet) - Niveau: A-niveau

hej jeg sidder lidt fast her jeg har løst den første opgave men jeg ved ikke rigtig hvordan jeg løser b, jeg har indtil videre forsøgt at isolere A i dA/dt men det har givet mig en meget mærrkelig ligning som jeg ikke tror passer.

på forhånd tak :-)

Vedhæftet fil: 17.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Her er tale om en logistisk differentialligning. Se derfor link 1, link 2 og link 3.

–– Skriv endelig her i tråden hvis du har ydeligere spørgsmål ;-)

Svar #3
23. oktober 2018 af mortenmp12 (Slettet)

super jeg tænkte også at det muligvis var en logistisk funktion men jeg syntes ikke rigtig at kunne genkende den hvis man kan kalde det det. jeg ved at A=f(x) og skal jeg så forstå det som at M=a/b og k er enten a eller b?

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. oktober 2018 af mathon

$\small \small \begin{array} {lrcl} \textbf{funktionsberegning:}&\tfrac{1}{M-A}\mathrm{d}A&=&k\mathrm{d}t\\\\ &\tfrac{1}{A-M}\mathrm{d}A&=&-k\mathrm{d}t\\\\ &\int \tfrac{1}{A-M}\mathrm{d}A&=&\int -k\mathrm{d}t\\\\ &\ln(A-M)&=&-k\cdot t+C_1\\\\ &A-M&=&Ce^{-kt}\\\\ &A(t)&=&M+Ce^{-kt} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Undskyld, det er noget vrøvl jeg har skrevet i #2 –– Jeg har vist været træt og haft "skærmøjne" da jeg skrev svaret i #2 igår aftes.

Der er selvfølgelig ikke tale om en logistisk differentialligning, men derimod om ganske normal 1. ordens lineær differential ligning

$\begin{align*} A^\prime(t) = k\cdot(M-A(t)) \quad\Leftrightarrow\quad A^\prime(t) + k\cdot A(t) = k\cdot M \end{align*}$

Dens løsning bestemes ved anvendelse af panserformlen.

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. oktober 2018 af mathon

$\small \small \begin{array} {lrcl} \textbf{linje}_\mathbf{1}\textup{:} &A(t)&=&300+Ce^{-0.02t}\\\\ & 75&=&300+Ce^{-0.02\cdot 0} \\\\ &C&=&75-300=-225\\\\ &A(t)&=&300-225e^{-0.02t}\\\\ &200&=&300-225e^{-0.02t}\\\\ &225e^{-0.02t}&=&300-200\\\\ &e^{-0.02t}&=&\frac{100}{225}\\\\ &e^{0.02t}&=&\frac{225}{100}=2.25\\\\ &0.02t&=&\ln(2.25)\\\\ &t&=&\left \lceil \frac{\ln(2.25)}{0.02} \right \rceil=41 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. oktober 2018 af mathon

$\small \small \small \begin{array} {lrclrcl} \textbf{linje}_\mathbf{2}\textup{:} &50&=&250+C&C&=&-200\\\\ & 120&=&250-200e^{-k\cdot 30} \\\\ &200e^{-30k} &=&250-120=130\\\\ &e^{-30k} &=&\frac{130}{200}\\\\ &e^{30k} &=&\frac{200}{130}\\\\ &30k&=&\ln\left ( \frac{20}{13} \right )\\\\ &k&=&\frac{\ln\left ( \frac{20}{13} \right ) }{30}\\\\ &k&=&0.014 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Alternativ udledelse af den løsning til differentiallignignen med begyndelses betingelsen $A(0)=75:$

$\begin{align*} A^\prime(t) = k\cdot\big(M-A(t)\big) &\quad\Leftrightarrow\quad A^\prime(t) +k\cdot A(t) = k\cdot M \\ &\quad\Leftrightarrow\quad A^\prime(t)\cdot e^{kt} +k\cdot A(t)\cdot e^{kt} = k\cdot M\cdot e^{kt} \\ &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{d}{dt}\Big(A(t)\cdot e^{kt}\Big) = k\cdot M\cdot e^{kt} \\ &\quad\Leftrightarrow\quad \int_0^t\frac{d}{dx}\Big(A(x)\cdot e^{kx}\Big)\,dx = k\cdot M\cdot \int_0^t e^{kx}\,dx \\ &\quad\Leftrightarrow\quad A(t)\cdot e^{kt} - A(0) = M\cdot\big(e^{kt} - 1\big) \\ &\quad\Leftrightarrow\quad A(t) = M - \big(M - A(0)\big)\cdot e^{-kt} \\ &\hspace{64pt} = 300 - (300-75)\cdot e^{-0.02\cdot t} \\ &\hspace{64pt} = 300 - 225\cdot e^{-0.02\cdot t} \end{align*}$

NB. $M$ er vandret asymptote for $A(t)$ . Du kan også tænke på $M$ som grænseværdien for $A(t)$ for $t\rightarrow\infty$ .

Skriv et svar til: forskrift for A

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.