Kontinuitet - fejl?

For man kunne i forrige eksempel anvende samme tankegang... Vælg et lille δ > 0 , så har vi et x = 0 ∈ D_f og dermed |x - 0| = 0 < δ og |f(x) - f(0)| = 0 < ½

Han skriver dog også længere nede, at nogen lærerbøger ikke opfatter at f er kontinuert i x = 0 da f skal være defineret i alle punkter i nærheden af a... og han skriver videre, at med sådan et kontinuitetsbegreb, så er f selvfølgelig ikke kontinuert... Altså... Han modsiger sig selv i sidste det første eksempel og det andet eksempel... Er jeg korrekt?

"Nu skriver han i det næste eksempel, at bare der findes ét x, som gør |x - a| < δ, så er den kontinuert i punktet...." Det er ikke det han skriver. Det skal gælde for ethvert x∈D_f med |x-0|<1. Men nu er det sådan at det eneste x∈D_f som opfylder denne betingelse er x=0. Så det skal blot gælde for x=0. Og det gør det. Så jeg kan ikke se nogen problemer?

Men som teksten i #1 antyder, så er det jo blot et spørgsmål om definition. Det kan måske føles skørt at sige at funktionen er kontinuert i 0, da den ikke er defineret i en omegn omkring 0. Og nogle ekskluderer altså dette fra definitionen. Men så vidt jeg ved er definitionen fra din bog den mest almindelige.

#2

Vi har |f(x) - f(0)| < ε ⇔ f(0) - ε < f(x) < f(0) + ε. Han vælger ε = ½ og dermed har vi -½ < f(x) < ½. Vi skal nu finde et δ > 0 så |x - 0| < δ og x∈D_f . Vi kan vælge δ = ε/2 og dermed |x - 0| < 1/4 ⇔ -1/4 < x < 1/4... Vi har en stribe af tal vi kan vælge imellem; x = (-1/4, 0] ∈ D_f... Men okay - da er ikke er nogen x-værdier på højresiden af a, som afparere - så mener man, at den ikke er kontinuert....

Men i det næste eksempel  - da har han hverken nogen x-værdier på højre eller venstre side af punktet 0 - Han mener man blot kan vælge tallet a = 0 ∈ D_f...

Jeg mener stadig at han modsiger sig...

Husk at definitionsmængden for  er . Altså har du at

Altså er  også kontinuert i .

I første eksempel har du ret, for et specifikt ε>0, gælder det, at uanset hvor lille δ>0 du vælger, så findes et x∈D_f (som her er R) så |x-0|<δ og |f(x)-f(0)|≥ε.

Altså der findes minimum ét x∈D_f der gør at ovenstående gælder, altså kan du ikke ikke afparere det specifikt valgte ε, og din funktion er diskontinuert.

I det andet eksempel, indses det det at det eneste tal x som opfylder x∈D_f=(-∞,-1]∪{0}∪[1,∞) og |x-0|<1 er x=0.

Og da |0-0|=0 vil du for et hvilket som helst ε>0 kunne vælge δ=1 for at sikre kontinuitetsbentingelsen i punktet a=0.

Hvis du prøvede at vise den var diskontinuert ville du se at ligegyldigt hvilket ε du kigger på, så findes der ingen x∈D_f (hverken på højresiden eller venstresiden af 0) så  |x-0|<δ og |f(x)-f(0)|≥ε, ligegyldigt hvor lille δ er. 

Funktionen 

er ikke kontinuert i . Antag (for modstid) at  er kontinuert i , da har vi specielt at for  at vi kan finde et  således at der for samtlige  der opfylder

har at

Vi løber ikke ind i nogen problemer for , men for  har vi at

og dermed

hvilket er en modstrid. Altså har vi at  ikke er kontinuert i .

#5

I første eksempel har du ret, for et specifikt ε>0, gælder det, at uanset hvor lille δ>0 du vælger, så findes et x∈D_f (som her er R) så |x-0|<δ og |f(x)-f(0)|≥ε.

Husk at vi siger at  er kontinuert i , såfremt at der for alle  findes mindst ét  således at der for samtlige  gælder at . 

Det er altså ikke tilstrækelig at der blot findes ét  således at

for hvis det var tilfældet kunne vi altid plot vælge  og dermed ville samtlige funktioner somfølge heraf være kontinuerte.

#7 "Det er altså ikke tilstrækelig at der blot findes ét  x∈D således at |x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε" Det har du ret i, men det er heller ikke det jeg skriver i #5.

Jeg siger at det er tilstrækkelig, at for ethvert δ>0, finde ét x∈D således at |x-a|<δ ⇒ |f(x)f(a)|≥ε for at sige at funktionen er ikke-kontinuert. Det er blot negationen af din definition i #7.

Ja, det var mig der ikke læse #5 grundigt nok.

Men #6 viser stadig at  ikke er konstitueret i x = 0 og du omformulere beviset heraf blot ved vælge  og .

Præcist hvad er du i tvivl omkring? Er det hvorfor eksempel 1 ikke er kontinuert i  eller er det hvorfor at eksempel 2 er kontinuert i ?

Okay... Så er det måske definitionerne jeg har bøvl med....

En funktion f er kontinuert i et punkt a∈D_f dersom følgende gælder: For ethvert ε > 0 (uanset hvor lille), findes der et δ > 0 sådan at når x∈D_f og |x-a| < δ, så |f(x) - f(a)| < ε. Vi kan altså få afstanden mellem f(x) og f(a) mindre end ε ved at kræve, at afstanden mellem x og a mindre end δ.

Jeg tager et andet eksempel, kun for at afprøve teorien.... Jeg forsøger at vise, at 2x² + 3 er kontinuert i punktet 1.

Lad ε > 0 så skal vi finde et δ > 0, sådan at når x∈D_f og |x-a| < δ så er |f(x) - f(a)| < ε...

Jeg har lidt besvær med at komme videre. Der er jo generelt ikke så meget snak om, hvordan de vælger δ i nogle af bøgerne...... Men jeg tror at

------------------------------------------------------------------------------------

Vi ønsker at begrænse funktionen 2|x + 1|δ ≤ Cδ.

Vælger vi derfor δ ≤ 2 (ud fra grafen er |x + 1| aftagende i når x bliver mindre, og |x+1| er voksende, når x bliver større)

så ser vi, at  -1 < x < 3 (da |x - 1| < δ ⇔ -1 ≤ 1 - δ < x < 1 + δ ≤ 3)

Dermed må |x+1| også være begrænset med 0 < |x + 1| < 4

Dermed har vi 2|x + 1||x - 1| < 2|x+1|δ < 8δ...

Samtidig ved vi, at hvis δ bliver større end 2, så vil x have større råderum og dermed |x + 1| også have en større begrænsning end den forrige...

Derfor kan vi lade δ = min{ε/8 , 2}

Dermed har vi |f(x) - f(a)| = 2|x+1||x-1| < 2·(3 + 1)·(ε/8) = ε

Er det en korrekt?

#11      Din ide er god nok. Monotonicitet er ikke relevant her. Definer f(x) = 2x² - 2, R → R. For at gøre det nemmere for dig, vil jeg vise at f er kontinuert på R. Lad x og a være faste i R. Der observeres, at f(x) - f(a) = 2(x + a)(x - a), så har man |f(x) - f(a)| = 2|x + a||x - a|.

Lad ε > 0 være givet. Vi ønsker vise, at der findes et δ > 0 sådan at 2|x + a||x - a| < ε for alle x opfyldende |x - a| < δ. 

(Jeg begynder med at vurdere |x + a|, der skal være mindre end et eller andet udtrykt ved a.)

Hvis |x - a| < 2 =: δ₁, så er |x + a| = |x - a + 2a| ≤ |x - a| + 2|a| = 2(1 + |a|). Derfor har man

2|x + a||x - a| ≤ 4(1 + |a|)|x - a| for alle x opfyldende |x - a| < δ₁.

(Nu skal jeg vurdere 4(1 + |a|)|x - a|, og ønsker at den skal være mindre end ε for alle bestemte x'er.)

Hvis |x - a| < ε/(4(1 + |a|)) =: δ₂, så er 4(1 + |a|)|x - a| < ε for alle x opfyldende |x - a| < δ₂.

Binder man de to sammen, har vi 2|x + a||x - a| < ε for alle x opfyldende |x - a| < min{δ₁,δ₂}.

Dette viser, at et sådant δ > 0 findes (nemlig δ = min{δ₁,δ₂}) sådan at |f(x) - f(a)| < ε for alle x opfyldende |x - a| < δ. Da ε er vilkårligt, er f kontintuert i a. Da a er vilkårligt, er f kontinuert på hele R.

Håber det hjalp lidt med forståelsen.