Matematik

geometrisk løsning af z^2 = i

26. december 2018 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

For mit at det nemt at se at den ene løsning rent geometrisk: z1 = +1/√ 2 + 1/√ 2i.

Jeg ved dog ikke hvordan man kan komme frem til den anden løsning z2 = -1/√ 2 - 1/√ 2i?

Brugbart svar (1)

Svar #1
26. december 2018 af swpply (Slettet)

Husk specielt at $i = e^{i\frac{\pi}{2}+2\pi in}$ , hvor $n = \ldots,-1,0,1,\ldots$ Dermed har du at

$\begin{align*} z^2 = i \quad&\Leftrightarrow\quad z^2 = e^{i\frac{\pi}{2}+2\pi in} \\ &\Leftrightarrow\quad z = e^{i\frac{\pi}{4}+\pi in} \\ &\Leftrightarrow\quad z = e^{i\frac{\pi}{4}} \ \vee\ z = e^{i\frac{5\pi}{4}} \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
26. december 2018 af swpply (Slettet)

Geometrisk har du at de to løsninger z₁ og z₂ til ligningen z² = i selvfølgelig ligger på enhedscirklen i det kompleksetal plan, du har derfor at |z₁| = |z₂| = 1. Dernæst har du at Arg(z₁) halvere intervallet [0,π/2] samt at Arg(z₂) halvere intervallet [π/2, 2π].

Dette kan let generaliseres til det generallet tilfælde z² = w. Skift blot π/2 ud med Arg(w) og enhedscirkel med cirkel med radius |w|, hvorfor at |z₁| = |z₂| = sqrt(|w|).

Brugbart svar (1)

Svar #3
26. december 2018 af mathon

$\small z^2=e^{i\left(\tfrac{\pi }{2}+p\cdot 2\pi \right)}\qquad p\in \{0,1\}$

$\small z=\left (e^{i\left(\tfrac{\pi }{2}+p\cdot 2\pi \right)} \right )^{\frac{1}{2}}=e^{i\left(\tfrac{\pi }{4}+p\cdot \pi \right)}\qquad p\in \{0,1\}$

$\small z=\left\{\begin{array}{lccc} \cos\left(\tfrac{\pi }{4}\right)+i\cdot \sin\tfrac{\pi }{4}&=&\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos\left(\tfrac{5\pi }{4}\right)+i\cdot \sin\tfrac{5\pi }{4}&=&-\tfrac{\sqrt{2}}{2}-i\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right.$

Svar #4
27. december 2018 af anonym000

Okay, den er jeg med på.

Hvad med

$z ^ { 2 } = 1 - i$

Jeg har omkrivet venstre og højreside på eksponentielform.

Jeg får z til at være

$z_0 = 2^{1/4} \exp(i 5\pi /8)$

$z_1 = 2^{1/4} \exp(i 13 \pi /8)$

I facit står der

$z = 2 ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \cos \left( \frac { \pi } { 8 } \right) - i \sin \left( \frac { \pi } { 8 } \right) \right) \text { og } z = 2 ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( - \cos \left( \frac { \pi } { 8 } \right) + i \sin \left( \frac { \pi } { 8 } \right) \right)$

Hvordan omskriver jeg mit til det som står i facit?

Jeg ved at mit resultat er rigtigt og facit er rigtigt.

- - -

...............

Brugbart svar (1)

Svar #5
28. december 2018 af peter lind

Det er lettere at angive den sidste med argumentet -iπ/8, Hvilket giver direkte den første af facitresultat med brug af at cos(-x)=cos(x) og sin(-x) = -x

For at få det andet resultat skal du bruge tilsvarende argumentet til π-π/8 = 7π/8 og brug tilsvarende regler for sinus og cosinus funktionen

Svar #6
28. december 2018 af anonym000

okay.

når jeg skal indtegne et kompleskt tal på eksponentiel form i et rektangulært koordinatsystem er den eneste måde at gøre det på at først sætte det på rektangulære form?

- - -

...............

Brugbart svar (1)

Svar #7
28. december 2018 af swpply (Slettet)

#6 Nej, på mange måder er polær-form (hvad du kalder eksponentiel-form) langt nemere at indtegne i det komplekse tal plan (Argand diagram). Lad $z = re^{i\theta}$ , da gælder der at $r$ angiver længden (også kaldet modulus) fra origo (0,0) og udtil det komplekse tal og $\theta$ angiver retningsvinklen til $z$ med hensyn til x-aksen.

Svar #8
28. december 2018 af anonym000

det var jeg klar over. ved ikke hvad jeg tænkte....

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. december 2018 af mathon

$\small z=\left\{\begin{array}{lll} 2^{\frac{1}{4}}\cdot e^{i\left ( -\frac{\pi }{8} \right )}=2^{\frac{1}{4}}\cdot \left ( \cos\left ( \frac{\pi }{8}\right)-i\cdot \sin \left ( \frac{\pi }{8} \right )\right ) \\ 2^{\frac{1}{4}}\cdot e^{i\left ( \frac{7\pi }{8} \right )}=2^{\frac{1}{4}}\cdot \left ( -\cos\left (\frac{\pi }{8} \right )+i\cdot \sin\left (\frac{\pi }{8} \right ) \right ) \end{array}\right.$

da
$\small \cos\left ( \frac{7\pi }{8} \right )=-\cos\left ( \frac{\pi }{8} \right )$

$\small \sin\left ( \frac{7\pi }{8} \right )=\sin\left ( \pi -\frac{7\pi }{8} \right )=\sin\left ( \frac{8\pi -7\pi }{8} \right )=\sin\left ( \frac{\pi }{8} \right )$

Skriv et svar til: geometrisk løsning af z^2 = i

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.