Talteori. Selvbeskrivende tal og niven-tal/harshad-tal

Der er ingen selvbeskrivende tal i hverken base 2 eller 3. Du har derimod at

   •   1210             (base 4)
   •   2020             (base 4)
   •   21200           (base 5)
   •   521001000   (base 9)

er de eneste selvbeskrivende tal i baserne 4, 5 og 9. Du skal altså blot tjekke i hver af de fire tilfælde hvilke af talende der også er et harshad tal i pågældende base.

(Hint, summen af cifrene er 10 (i den respektive base) i samtlige tilfælde og eftersom at hvert af de fire tal alle slutter på nul har du at hvert af de fire tal er delelig med 10 (i den respektive base). Altså er ovensåtende fire tal samtlige tal der både er selvbeskrivende og et harshad tal i den respektive base).

–– Godt nytår ;o)

NB. Du kan relativit nemt vise at samtlige selvbeskrivende tal også er et harshad tal (link).

#1

De fire tal du skriver er også harshad tal i andre baser (6,7,8 og 10), så det kan ikke være dem.

#3 1210₄ = 136 = 244₆ - det er vel ikke harshad-tal i base 6, da ciffersum = 10, som ikke går op i 136, eller har jeg misforstået begrebet?

Jeg læser opgaven, som der skal findes et selvbeskrivende tal på højst 10 cifre, som er et harshad-tal i alle baserne 2, 3,4,5,9, men ikke i 6, 7, 8 eller 10 (eller højere?).
Det er for mig uklart ud fra opgaveteksten, hvorvidt man kun skal se på base 2 til 10, men fx er alle tal
n = 10_n er vel ret beset et harshad-tal i egen base, og så det gælder vel ikke, at tallet kun er harshad-tal i baserne 2, 3, 4, 5 og 9.

Som angivet i #1 kan der kun være tale om nedenstående, da de selvbeskrivende tal er harshad-tal i egen base

  •   1210             (base 4)
   •   2020             (base 4)
   •   21200           (base 5)
   •   521001000   (base 9)

Hvis jeg har forstået begrebet  harshad-tal rigtigt, så er de grønne OK, men de røde er ikke:
1210₄ = 100 = 1100100₂   ciffersum = 3 går ikke op i 136
2020₄ = 136 = 10001000₂  = 12001₃ = 1021₅ = 344₆ = 253₇ = 210₈ = 161₉ = 136₁₀
21200₅ = 1425 = 10110010001₂ 
521001000₉ = 225331713 = 1101011011100100101000000001₂ = 120201000001000000₃

Jeg har brugt disse to kilder: https://en.wikipedia.org/wiki/Self-descriptive_number#Properties og http://www.mikkelh.dk/tal3.php?omregn=389305&talsystem=v%E6lg+et+talsystem+som+du+vil+omregne+til%3A

#4

Kom frem til lidt af det samme som dig. Jeg vil dog mene, at  er det eneste svar. Bemærk, at det kun er et harshad tal i baserne 2,3,4,5,9, hvilket netop var kravet. Jeg er dog i tvivl om, hvordan jeg generaliserer/ræsonnerer mig frem til, at dette tal ikke er et harshad tal i alle andre baser større end 10.

#5 Vi er helt enige om, at det kun er 2020₄ = 136, der opfylder kravet, forudsat at basen begrænses til at være mellem 2 og 10. Hverken 1210₄ eller 21200₅ er harshad-tal i base 2, og 521001000₉ er ikke et harshad-tal i base 3. 

Jeg er dog i tvivl om, hvordan jeg generaliserer/ræsonnerer mig frem til, at dette tal ikke er et harshad tal i alle andre baser større end 10.

Det mener jeg ikke, du kan, da 136 må være et harshad-tal i base 136.