Matematik

Talteori. Selvbeskrivende tal og niven-tal/harshad-tal

31. december 2018 af Slashdash - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP. Jeg mangler hjælp til et talteoretisk spørgsmål, som omhandler selvbeskrivende tal( eng: self-descriptive number) og harshad-tal. Jeg indsætter nogle links forneden til, hvad det vil sige at være et selvbeskrivende tal og et harshad/niven-tal:

https://en.wikipedia.org/wiki/Self-descriptive_number

https://da.wikipedia.org/wiki/Harshad-tal

 Spørgsmålet lyder:

Find et tal, som er selvbeskrivende, og som kun er et harshad-tal i baserne 2,3,4,5 og 9. Tallet må maksimalt være 10 cifre langt. Angiv forklaringer og beregninger

Kan ikke helt finde sammenhængen i det, så håber, at der er nogle skarpe mennesker, som kan hjælpe mig.

Godt nytår!


Brugbart svar (0)

Svar #1
31. december 2018 af swpply

Der er ingen selvbeskrivende tal i hverken base 2 eller 3. Du har derimod at

   •   1210             (base 4)
   •   2020             (base 4)
   •   21200           (base 5)
   •   521001000   (base 9)

er de eneste selvbeskrivende tal i baserne 4, 5 og 9. Du skal altså blot tjekke i hver af de fire tilfælde hvilke af talende der også er et harshad tal i pågældende base.

(Hint, summen af cifrene er 10 (i den respektive base) i samtlige tilfælde og eftersom at hvert af de fire tal alle slutter på nul har du at hvert af de fire tal er delelig med 10 (i den respektive base). Altså er ovensåtende fire tal samtlige tal der både er selvbeskrivende og et harshad tal i den respektive base).

–– Godt nytår ;o)


Brugbart svar (0)

Svar #2
31. december 2018 af swpply

NB. Du kan relativit nemt vise at samtlige selvbeskrivende tal også er et harshad tal (link).


Svar #3
31. december 2018 af Slashdash

#1

De fire tal du skriver er også harshad tal i andre baser (6,7,8 og 10), så det kan ikke være dem.


Brugbart svar (1)

Svar #4
01. januar kl. 21:16 af AMelev

#3 12104 = 136 = 2446 - det er vel ikke harshad-tal i base 6, da ciffersum = 10, som ikke går op i 136, eller har jeg misforstået begrebet?

Jeg læser opgaven, som der skal findes et selvbeskrivende tal på højst 10 cifre, som er et harshad-tal i alle baserne 2, 3,4,5,9, men ikke i 6, 7, 8 eller 10 (eller højere?).
Det er for mig uklart ud fra opgaveteksten, hvorvidt man kun skal se på base 2 til 10, men fx er alle tal
n = 10n er vel ret beset et harshad-tal i egen base, og så det gælder vel ikke, at tallet kun er harshad-tal i baserne 2, 3, 4, 5 og 9.

Som angivet i #1 kan der kun være tale om nedenstående, da de selvbeskrivende tal er harshad-tal i egen base

  •   1210             (base 4)
   •   2020             (base 4)
   •   21200           (base 5)
   •   521001000   (base 9)

Hvis jeg har forstået begrebet  harshad-tal rigtigt, så er de grønne OK, men de røde er ikke:
12104 = 100 = 11001002   ciffersum = 3 går ikke op i 136
20204 = 136 = 100010002  = 120013 = 10215 = 3446 = 2537 = 2108 = 1619 = 13610
212005 = 1425 = 10110010001
5210010009 = 225331713 = 110101101110010010100000000121202010000010000003

Jeg har brugt disse to kilder: https://en.wikipedia.org/wiki/Self-descriptive_number#Properties og http://www.mikkelh.dk/tal3.php?omregn=389305&talsystem=v%E6lg+et+talsystem+som+du+vil+omregne+til%3A


Svar #5
02. januar kl. 00:02 af Slashdash

#4

Kom frem til lidt af det samme som dig. Jeg vil dog mene, at 2020_4 er det eneste svar. Bemærk, at det kun er et harshad tal i baserne 2,3,4,5,9, hvilket netop var kravet. Jeg er dog i tvivl om, hvordan jeg generaliserer/ræsonnerer mig frem til, at dette tal ikke er et harshad tal i alle andre baser større end 10.


Brugbart svar (1)

Svar #6
02. januar kl. 13:42 af AMelev

#5 Vi er helt enige om, at det kun er 20204 = 136, der opfylder kravet, forudsat at basen begrænses til at være mellem 2 og 10. Hverken 12104 eller 212005 er harshad-tal i base 2, og 5210010009 er ikke et harshad-tal i base 3. 

Jeg er dog i tvivl om, hvordan jeg generaliserer/ræsonnerer mig frem til, at dette tal ikke er et harshad tal i alle andre baser større end 10.

Det mener jeg ikke, du kan, da 136 må være et harshad-tal i base 136.


Skriv et svar til: Talteori. Selvbeskrivende tal og niven-tal/harshad-tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.