Vektor grafisk - Skal en vektor altid tegnes som en pil?

Og skal den altid tegnes i et koordinatsystem?

#0   Hvis den skal tegnes, skal den tegnes som en pil. Man skal jo kunne se, i hvilken retning den trækker.

#1   Den kan også tegnes på hvidt papir, men der jo altid et underforstået koordinatsystem bagved.

#0: Ja, det er sådan, vi ser, at det er en vektor.

#1: Nej, bare man kan kender koordinaterne.

Man kan godt have vektorer uden koordinatsystem. I fysikken benyttes vektorer til mange ting og ikke altid i forbindelse med et koordinatsystem. Hvis man skal beregne det arbejde, en kraft udfører, har man brug for skalarproduktet mellem kraftvektoren og forskydningsvektoren. Det kan defineres uafhængigt af koordinatsystemet.

#0 En vektor er mængden af pile med samme længde og retning. Der er altså uendeligt mange repræsentanter for en given vektor.

#1 Der skal være en ortonormeret basis , hvor  og , men placering af Origo er uden betydning.
Vektor(repræsentant)en kan så tegnes ud fra et koordinatsæt eller ud fra længde og retningsvinkel.

Der er ikke brug for en basis. Vektorer kan eksistere uden en basis.

De vektorer, man kommer ud for i gymnasiet, er normalt indlejret i en basis, men det er ikke nødvendigt. Det er i mange tilfæde praktisk at have et koordinatsystem og dermed en basis, men det er ikke en nødvendighed ofr at have en vektor.

#6 Hvordan vil du så angive længde og retning?

Man kan godt arbejde med geometri uden et koordinatsystem. Det gjorde Euklid længe inden René Descartes opfandt koordinatsystemet. Godt nok er vektorerne opfundet senere, men de vektorer, der benyttes i gymnasiet er defineret udelukkende ved brug af elementer fra den euklidiske geometri. Koordinatsystemet nævnes overhovedet ikke. Det er praktisk at kunne lægge vektorerne ind i et koordinatsystem, men det er ikke en del af definitionen, og det er muligt at arbejde med vektorer uden at have et koordinatsystem.

#7 Enig i, at man kan arbejde uden koordinatsystem, men
For at kunne bestemme længde, skal der være angivet en længdeenhed, og for at bestemme retning skal der være angivet "en 0-retning".
Dermed har man i princippet også defineret en ortonormeret basis.
 

Man behøver ikke altid koordinatsystemet for at kunne arbejde med vektorer. Hvis man har brug for et koordinatsystem, kan man danne det ved at udvælge passende vektorer som basis.

I den videregående matematik benytter man somme tider vektorrum, hvor vektorerne ikke har en geometrisk fortolkning. Her er det ikke muligt at benytte et traditionelt koordinatsystem, men man kan ud fra vektorrummets egenskaber opbygge en basis, som kan være ortonormal, men ikke behøver at være det.

Den første form for vektorregning, jeg har været ude for, blev gennemført rent geometrisk uden brug af koordinatsystem. Det var addition og subtraktion af kræfter. Her er der både længde og retning med, men det er konstruktioner, der er ældre end koordinatsystemet.