Matematik

Bevis for at du/dx kan opfattes som brøk i integration ved substitution.

01. maj 2019 af Kraes4 - Niveau: A-niveau

Hej,

Er der nogen der kan bevise det, eller linke mig til et sted hvor jeg kan se beviset for at man kan omfatte du/dx som en brøk når man laver integration ved substitution?

Tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
01. maj 2019 af mathon

$\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\quad\textup{er en differential\textbf{kvotient} dvs resultatet af en division }\mathrm{d}u\textup{:}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\textup{ en division af differentialer}$

$\textup{men er samtidig en funktion.}$

Svar #2
01. maj 2019 af Kraes4

Kan det uddybes lidt mere ?

Svar #3
01. maj 2019 af Kraes4

Eller jeg kan spørge anderledes: hvorfor kan man det ved integration ved substitution?

Brugbart svar (1)

Svar #4
01. maj 2019 af mathon

eks.

$\small \int \frac{3}{x}\cdot( \ln(x))^2\, \mathrm{d}x=3\cdot \int ( \ln(x))^2\cdot \,\frac{1}{x} \mathrm{d}x$

$\textup{her s\ae ttes}$
$\small u=\ln(x)\qquad\textup{og dermed}\qquad\mathrm{d}u=\tfrac{1}{x}\mathrm{d}x$

$\textup{substitutionen }$
$\textup{giver:}$
$\small 3\cdot \int ( \ln(x))^2\cdot \,\frac{1}{x} \mathrm{d}x=3\cdot \int u^2\mathrm{d}u=3\cdot \tfrac{1}{3}u^3+k=u^3+k=(\ln(x))^3+k$

Svar #5
01. maj 2019 af Kraes4

Men hvordan kan det være at jeg må opfatte et matematisk symbol du/dx som en brøk og isolere?

Brugbart svar (1)

Svar #6
01. maj 2019 af mathon

...fordi det er en brøk.

Svar #7
01. maj 2019 af Kraes4

Arg, nu giver det mening.
Tak for hjælpen mathon!

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. maj 2019 af mathon

Bemærk dog
$\small \begin{array}{llll} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}&\textup{er \textbf{b\aa de} en funktion \textbf{og} en br\o k}\\\\ \frac{\mathrm{d^2} u}{\mathrm{d}x ^2}&\textup{er \textbf{kun} en funktion} \end{array}$

Skriv et svar til: Bevis for at du/dx kan opfattes som brøk i integration ved substitution.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.