Fysik

Argumentation for acceleration

04. maj 2019 af Tekniskgymnasiumelev - Niveau: B-niveau

Hvordan kan man egentlig argumentere for at den acceleration man har fundet i en cirkelbevægelse er rigtig?

- På forhånd tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. maj 2019 af mathon

I en jævn eller en ujævn cirkelbevægelse?

Er vinkelhastigheden konstant?

Svar #2
04. maj 2019 af Tekniskgymnasiumelev

Altså det skulle have været en jævn cirkelbevægelse, men det blev til en cirkelbevægelse, pga. udstyr osv. Og vinkelhastigheden er vel kun konstant, hvis det er en jævn cirkelbevægelse right?

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. maj 2019 af mathon

Det er korrekt.
Med centrum i origo når
ω er konstant haves:

$\small \mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\omega t)\\r\cdot \sin(\omega t) \end{pmatrix}$

$\small \mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}(t)}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} x{\, }'(t)\\ y{\, }'(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\omega r\cdot \sin(\omega t)\\\omega r\cdot \cos(\omega t) \end{pmatrix}$

$\small v=\sqrt{\left (-\omega r\cdot \sin(\omega t) \right )^2+\left (\omega r\cdot \sin(\omega t) \right )^2}=\omega r$

$\small \mathbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d^2} \mathbf{r}(t)}{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} x{\, }''(t)\\ y{\, }''(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\omega^2 r\cdot \cos(\omega t)\\-\omega^2 r\cdot \sin(\omega t) \end{pmatrix}$

$\small \small a=\sqrt{\left (-\omega^2 r\cdot \cos(\omega t) \right )^2+\left (-\omega^2 r\cdot \sin(\omega t) \right )^2}=\omega^2 r=\frac{\omega ^2r^2}{r}=\frac{(\omega r)^2}{r}=\frac{v^2}{r}$

Svar #4
04. maj 2019 af Tekniskgymnasiumelev

Men hvad er argumentationen for at det er rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. maj 2019 af Eksperimentalfysikeren

Man differentierer stedvektoren to gange. Det tror jeg ikke, du har lært noget om, men hvis du kender til differentiation af en funktion i reelle tal, er springet ikke så stort.

Jeg vil springe de grundlæggende beviser over. De minder om dem, du formodentlig allerede kender, blot med vektorer som funktionsværdier.

Det, man kommer frem til er, at man kan differentiere en stedvektor ved at differentiere koordinatfunktionerne hver for sig:

$\\ \mathbf{v}(t) = \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}(t)}{\mathrm{d} t} =\\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(\begin{smallmatrix} r\cdot cos(\omega t)\\ r\cdot sin(\omega t) \end{smallmatrix}\bigr) = \bigl(\begin{smallmatrix} -r \omega \cdot sin(\omega t) \\ r \omega \cdot cos(\omega t) \end{smallmatrix}\bigr)$

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. maj 2019 af Eksperimentalfysikeren

Mere anskueligt:

Tegn cirkelbanen med to radier, der er tæt på hinanden, svarende til en kort tid, dt, mellem dem. Differensen af dem er en kort vektor, dr, der er tæt ved at være sammenfaldende med cirkelperiferien. Dividerer man dr med dt, får man gennemsnitshastigheden på det pågældende tidspunkt. Ved grænseovergangen dt->0 fås øjeblikshastigheden. Den er tangent til cirklen. Tegn nu en ny cirkel, hvor radius er hastighedsvektoren fra den første cirkel. Bemærk, at hastighedsvektoren er vinkelret på stedvektoren. Gentag nu processen, så du finder accelerationsvektoren ud fra hastighedsvektoren. De er også vinkelret på hinanden og accelerationsvektoren er modsatrettet stedvektoren.

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. maj 2019 af mathon

$\small \small \mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}(t)}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} x{\, }'(t)\\ y{\, }'(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\omega r\cdot \sin(\omega t)\\\omega r\cdot \cos(\omega t) \end{pmatrix}=\omega\cdot \mathbf{\widehat{r}}(t)$

$\small \small \mathbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d^2} \mathbf{r}(t)}{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} x{\, }''(t)\\ y{\, }''(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\omega^2 r\cdot \cos(\omega t)\\-\omega^2 r\cdot \sin(\omega t) \end{pmatrix}=-\omega ^2\cdot \mathbf{r}(t)=\omega ^2\cdot \left ( -\mathbf{r}(t) \right )$

Skriv et svar til: Argumentation for acceleration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.