Matematik

Vilkårlige trekanter

30. maj 2019 af Fatima2904 - Niveau: C-niveau

Hvad kendetegner en vilkårlig trekant?

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. maj 2019 af OliverHviid

- at den er vilkårlig, altså en form for fællesbetegnelse for alle slags trekanter. Den har tre sider og en vinkelsum på 180 grader. Mens en retvinklet trekant fx har én vinkel, der er 90 grader (ret), så er den vilkårlige trekant netop... vilkårlig.

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. maj 2019 af mathon

vilkårlig trekant = 'uanset' hvilken trekant, så...

sinusrelationer i trekant:
$\small \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}$

$\small \frac{a}{\sin(A)}=\frac{c}{\sin(C)}$

$\small \frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}$

$\textup{i hver lighed skal kendes 3 'stykker' for at kunne beregne den fjerde.}$

$\textup{Det bem\ae rkes, at }\sin(v)=\sin(180\degree-v) - \left (\textup{ 'sinusf\ae lden'} \right )$

cosinusrelationer i trekant:

$\small \begin{array}{lllll} a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(A)\\\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(B)\\\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(C) \end{array}$

$\textup{anvendes n\aa r en vinkel og dens to hosliggende sider er kendt.}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. maj 2019 af mathon

anvendelse:
$\small \begin{array}{llll} \textup{Beregn}&B&C& c \\\\ \textup{i den eller de trekanter}\\ \textup{hvori:}&A=34.6\degree&a=5.7&b=7.3 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. maj 2019 af Capion1

# 0
Bliver vi bedt om at tegne en vilkårlig trekant, skal alle vinkler være mindre end 90º og alle forskellige.
En ligebenet -, ligesidet - eller retvinklet trekant vil vi sige, er ikke-vilkårlig.

Svar #5
30. maj 2019 af Fatima2904

#4 må de ikke være over 90 grader?

Brugbart svar (0)

Svar #6
30. maj 2019 af mathon

Jo. - men kun én af vinklerne.

Brugbart svar (0)

Svar #7
30. maj 2019 af StoreNord

En vilkårlig trekant har vel ikke nogen kendetegn, udover at den har 3 sider.
Men jeg ville nu også tegne den med uens, spidse vinkler.

Brugbart svar (0)

Svar #8
31. maj 2019 af mathon

En vilkårlig trekant er en trekant af et hvilket som helst udseende og ikke kun spidsvinklet.

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. juli 2019 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textup{da} &A\textup{ er \textbf{spids} og }\underset{\textup{h\o jden }h_c}{\underbrace{7.3\cdot \sin(34.6\degree)}}<\underset{a}{5.7}<\underset{b}{7.3}&\textup{er der to l\o sninger}\\\\ &B_1=\sin^{-1}\left ( b\cdot \frac{\sin(A)}{a} \right ) &B_2=180\degree-B_1\\\\ &B_1=\sin^{-1}\left ( 7.3\cdot \frac{\sin(34.6\degree)}{5.7} \right )=46.7\degree &B_2=180\degree-B_1=(180-46.7)\degree=133.3\degree\\\\ &c_1=b\cdot \cos(A)+a\cdot \cos(B_1)&c_2=b\cdot \cos(A)-a\cdot \cos(B_1)\\\\ &c_1=7.3\cdot \cos(34.6\degree)+5.7\cdot \cos(46.7\degree)=9.9&c_2=7.3\cdot \cos(34.6\degree)-5.7\cdot \cos(46.7\degree)=2.1 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
15. juli 2019 af mathon

færdiggørelse:

$\small \small \begin{array}{llllll}&C_1=180\degree-(A+B_1)&C_2=180\degree-(A+B_2)\\\\ &C_1=180\degree-(34.6\degree+46.7\degree)=98.7\degree&C_2=180\degree-(34.6\degree+133.3\degree)=12.1\degree \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
15. juli 2019 af mathon

Det helt rigtige er at beregne C₁ og C₂ trigonometrisk og efterfølgende kontrollere om vinkelsummen er 180°,
men her sejrede mageligheden.

Brugbart svar (0)

Svar #12
16. juli 2019 af mathon

dagen derpå $\dots$

$\small \begin{array}{llllll} &C_1=\cos^{-1}\left ( \frac{a^2+b^2-{c_1}^2}{2\cdot a\cdot b} \right )&&&&C_2=\cos^{-1}\left ( \frac{a^2+b^2-{c_2}^2}{2\cdot a\cdot b} \right ) \\\\ &C_1=\cos^{-1}\left ( \frac{5.7^2+7.3^2-9.9^2}{2\cdot 5.7\cdot 7.3} \right )=98.5\degree&&&&C_2=\cos^{-1}\left ( \frac{5.7^2+7.3^2-2.1^2}{2\cdot 5.7\cdot 7.3} \right )=12.1\degree \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
27. juli 2019 af mathon

eller

$\small \small \begin{array}{llllll} &C_1=2\cdot \tan^{-1}\left (\sqrt{ \frac{{c_1}^2-(a-b)^2}{(a+b)^2-{c_1}^2}} \right )&&&&C_2=2\cdot \tan^{-1}\left (\sqrt{ \frac{{c_2}^2-(a-b)^2}{(a+b)^2-{c_2}^2}} \right ) \\\\ &C_1=2\cdot \tan^{-1}\left (\sqrt{ \frac{9.9^2-(5.7-7.3)^2}{(5.7+7.3)^2-9.9^2}} \right )=98.5\degree&&&&C_2=2\cdot \tan^{-1}\left (\sqrt{ \frac{2.1^2-(5.7-7.3)^2}{(5.7+7.3)^2-2.1^2}} \right )=12.1\degree \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #14
29. juli 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lllllllllll} \textup{detaljer:}\\ &\tan^2\left ( \frac{A}{2} \right )=\frac{1-\cos(A)}{1+\cos(A)}=\frac{\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}}{\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}}=\frac{a^2-(b-c)^2}{(b+c)^2-a^2}\\\\ &\begin{array}{llllllll}&A&&=&2\cdot \tan^{-1}\left ( \sqrt{\frac{a^2-(b-c)^2}{(b+c)^2-a^2}} \right )&&&\textup{og to analoge}\\\\ &B&&=&2\cdot \tan^{-1}\left ( \sqrt{\frac{b^2-(a-c)^2}{(a+c)^2-b^2}} \right )\\\\ &C&&=&2\cdot \tan^{-1}\left ( \sqrt{\frac{c^2-(a-b)^2}{(a+b)^2-c^2}} \right ) \end{array} \end{array}$

Skriv et svar til: Vilkårlige trekanter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.