Matematik

Fæstlæg forskriften for andengradspolynomium

22. juni 2019 af AlexBatten - Niveau: B-niveau

Hvordan kan man fastlægge forskriften for et andengradspolynom når man kender et eller 2 punkter samt hældningen i punkterne?

Brugbart svar (1)

Svar #1
22. juni 2019 af peter lind

2. gradspolynomiet er ax²+bx+c=y

Hvis du kender er punkt (x0, y0) sætter du det ind og får

ax0²+bx0+c=y0

Det giver en ligning til at bestemme a, b og c

Kender du et andet punkt skal du blot sætte det ind og du får en anden ligning til bestemmelse af a, b og c

Kender du hældningen α i det første punkt differentierer du polynomiet og får f'(x) = 2ax+b. sætter du punktet ind får du 2ax0+b =α altså en ny ligning til bestemmelse at a og b

Brugbart svar (1)

Svar #2
22. juni 2019 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllllll} \textup{Du har s\aa \:}\\ &1)&2x_1\cdot a+b=f{\, }'(x_1)\\\\ &2)&{ x_1}^2\cdot a+ x_1\cdot b+c=y_1&&&&\textup{3 ligninger med 3 ubekendte a, b og c}\\\\ &3)&{ x_2}^2\cdot a+ x_2\cdot b+c=y_2 \end{array}$

Svar #3
22. juni 2019 af AlexBatten

tusind tak for svarene, tror lige præcis det er det jeg skal bruge

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. juni 2019 af ringstedLC

Med et punkt er det umuligt, men:

$\begin{align*} f'(x_1) &= ax_1+b=a_1\;,\;a_1\text{ er h\ae ldningen i }x_1 \\ f'(x_2) &= ax_2+b=a_2\;,\;a_2\text{ er h\ae ldningen i }x_2 \\ \text{som l\o ses for }&a\text{ og }b \\ f(x) &= \int{f'(x)}\;dx=\tfrac{1}{2}ax^2+bx+c \\ f(x_1)= y_1 &= \tfrac{1}{2}a{x_1}^2+bx_1+c \Leftrightarrow c= y_1-\left ( \tfrac{1}{2}a{x_1}^2+bx_1 \right ) \\ \text{ } \end{align*}$

Svar #5
22. juni 2019 af AlexBatten

#4
Med et punkt er det umuligt, men:

$\begin{align*} f'(x_1) &= ax_1+b=a_1\;,\;a_1\text{ er h\ae ldningen i }x_1 \\ f'(x_2) &= ax_2+b=a_2\;,\;a_2\text{ er h\ae ldningen i }x_2 \\ \text{som l\o ses for }&a\text{ og }b \\ f(x) &= \int{f'(x)}\;dx=\tfrac{1}{2}ax^2+bx+c \\ f(x_1)= y_1 &= \tfrac{1}{2}a{x_1}^2+bx_1+c \Leftrightarrow c= y_1-\left ( \tfrac{1}{2}a{x_1}^2+bx_1 \right ) \\ \text{ } \end{align*}$

gav #1 ikke en forklaring til hvordan man kunne gøre det med et punkt?

Brugbart svar (1)

Svar #6
22. juni 2019 af peter lind

Nej. Du skal have 3 ligninger til at bestemme a, b og c. Med et punkt får du en ligning. Hvis du også kender hældningen af tangenten i punktet får du en anden ligning. Det giver kun to ligninger og du behøver 3

Svar #7
23. juni 2019 af AlexBatten

i see, så min lærer har givet mig et snyde spørgsmål eller hvad? haha

Brugbart svar (0)

Svar #8
30. juli 2019 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{og}\\&1)&2x_1\cdot a+b=f{\, }'(x_1)\\\\ &2)&\left ({x_2}^2-{x_1}^2 \right )a+\left ( x_2-x_1 \right )b=y_2-y_1\\\\ \textup{hvoraf}\\ &&\left ({x_2}^2-{x_1}^2 \right )a+\left ( x_2-x_1 \right )\cdot \left (f{\, }'(x_1) -2x_1\cdot a \right )=y_2-y_1\\\textup{og} \\ &&a=\frac{y_2-y_1-(x_2-x_1)\cdot f{\, }'(x_1)}{{x_2}^2-{x_1}^2-2x_1\cdot (x_2-x_1)}\qquad b=f{\, }'(x_1)-2x_1\cdot a \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
30. juli 2019 af oppenede

Forskriften har 3 ubekendte, a, b og c. Derfor skal du have 3 betingelser før forskriften kan bestemmes.

Hvis du kender 2 punkter og hældningen i det ene af de punkter, så kan forskriften bestemmes hvis de givne punkters x-værdi er forskellig.

Givet et punkt (x₀, y₀) hvor hældningen er h₀, så bliver forskriften:
f(x) = a·(x - x₀)² + h₀·(x - x₀) + y₀
hvor a er vilkårlig.

a kan bestemmes hvis du kender y-værdien i et andet punkt (x₁, y₁) ved at isolere a i ligningen f(x₁) = y₁, eller hvis du i stedet kender hældningen h₁ i x = x₁ ved at isolere a i ligningen f '(x₁) = h₁.

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. juli 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{lll} \textup{samt}\\ &c=y_1-\left ({x_1}\cdot a+ b \right )x_1 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
02. august 2019 af mathon

$\small \begin{array}{llllllll}\textup{samlet:}\\ &&a=\frac{y_2-y_1-(x_2-x_1)\cdot f{\, }'(x_1)}{{x_2}^2-{x_1}^2-2x_1\cdot \left ( x_2-x_1 \right )}\\\\ && b=f{\, }'(x_1)-2x_1\cdot a \\\\ && c =y_1-\left ( x_1\cdot a+b \right )\cdot x_1 \end{array}$

Skriv et svar til: Fæstlæg forskriften for andengradspolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.