Matematik

Geometri og binære ligningssystemer

19. oktober kl. 22:32 af Koen3 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP.

Jeg har ret svært ved opgave c (undskylder for ikke at kunne oplade billedet til selve opslaget, så bliver nødt til at vedhæfte det). Jeg har lavet opgave a og b.

I opgave a får jeg a = -1 og (x, y, z) = (-1, 0, 0)

I opgave b får jeg a = 1 og (x, y, z) = (1, 0, 0) + t*(-1, 1, 0)

Men opgave c, ved jeg ikke hvordan skal gribes an. En der kan hjælpe mig med at løse den?

Mvh Koen


Brugbart svar (0)

Svar #1
19. oktober kl. 23:24 af Soeffi


Brugbart svar (1)

Svar #2
19. oktober kl. 23:49 af BirgerBrosa

#1
#0. Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1915400.

Du er godt nok ikke til særlig megen hjælp, Soeffi.

Mht. spørgsmålet, så indsæt a=0 i totalmatricen, og få den på trappeform. Du skulle gerne få ligningen for en yz-plan.

Svar #3
20. oktober kl. 00:08 af Koen3

Okay, så får man en matrice som lyder <1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0>. Hvor der så kun er en fast parameter altså x1 = 0, og så har man to frie parametre hvor 4 og -4 kan ingå? Hvilket giver en samlet parameterfremstilling som er: (x, y, z) = (0, 0, 0) + t*(0, 1, 0) + s*(0, 0, 1). Hvor t er x2 og s er x3. Når man så sætter 4 og -4 ind på de to frie parametre får man to punkter som er (0, 4, -4) og (0, -4, 4).

Eller har jeg misforstået opgaven?


Brugbart svar (1)

Svar #4
20. oktober kl. 10:00 af BirgerBrosa

Det er rigtigt, men der er ingen grund til at opstille en parameterfremstilling. Du ved jo at det er en yz-plan.

Brugbart svar (1)

Svar #5
20. oktober kl. 13:04 af Soeffi

#0. Der er tre tilfælde med hensyn til a:

1) a = -1 ⇒ fælllesmængden for planerne er et punkt

2) a = 0 ⇒ fælllesmængden for planerne er et plan

3) a = 1 ⇒ fælllesmængden for planerne er en linje

Man skal så undersøge i hvert tilfælde, om punkter med koordinaterne -4 og 4 kan optræde i fællesmængden.

Lavet i Geogebra:


Brugbart svar (0)

Svar #6
20. oktober kl. 13:33 af Soeffi

#5...for andre værdier af a, så er fællesmængden af punkterne i planerne den tomme mængde.

Brugbart svar (1)

Svar #7
22. oktober kl. 16:07 af Soeffi

#0. Løsning ved reduktion af matrix. 

Hvis man reducerer matricen for ligningssystemet i CAS, så får man enhedsmatricen. Det skyldes, at CAS ikke tager hensyn til, om der divideres med 0. Hvis man vil reducere uden at dividere, så får man:

\begin{bmatrix} 1 & a & a & a\\ 1 & a^2 & 0 & a^3\\ 1 & a^2 & a & a\\ 1 & a & 2a & a \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & a & 0 & a\\ 0 & a^2-a & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & 0\\ 0 & 0 & 0 & a-a^3 \end{bmatrix}

Denne matrix kan reduceres yderligere ved at dividere med henholdsvis a2 - a, a og a - a3 i række 2, 3 og 4 for derefter at gange række 2 og 4 med a og trække dem fra række 1. Dette forudsætter dog, at a er forskellig fra -1, 0 og 1, da man ellers ville dividere med 0.

a forskellig fra -1, 0 og 1:
Fjerde række giver ligningen: 0·x + 0·y + 0·z = a - a3 ≠ 0, hvilket ikke kan lade sig gøre, og planerne har dermed ikke nogen fælles punkter.

a = -1:

\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Dette giver ligningerne:  x - y = -1, 2y = 0, -z = 0 og 0 = 0 ⇒ x - y = -1, y = 0 og z = 0 ⇒ x = -1, y = 0 og z = 0.
Dvs. planerne har det fælles punkt: (x,y,z) = (-1,0,0).

a = 0:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 

Dette giver planen x = 0, dvs. YZ-planen som fællesmængde. Det viser sig, at kun denne fællesmængde rummer punkter med koordinatene -4 og 4.

a = 1:

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Dette giver ligningerne: x + y = 1 og z = 0. Dette ses, at være linjen x + y = 1 i XY-planen (z = 0).
Parameterfremstillingen kan laves ved forsøgsvis at sætte y = 0 hvilket giver punktet (x,y,z) = (1,0,0) på linjen. Retningsvektoren kan findes som krydsproduktet af planernes normalvektorer. Disse findes ved at opskrive de fulde ligninger for planerne: 1·x + 1·y + 0·z = 1 og 0·x + 0·y + 1·z = 0.
Normalvektorerne er n = (1,1,0) og m = (0,0,1). n × = (1,1,0) × (0,0,1) = (1,-1,0).
Dvs. parameterfremstillingen bliver: (x,y,z) = (1,0,0) + t·(1,-1,0), t ∈ R.


Skriv et svar til: Geometri og binære ligningssystemer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.