Matematik

Bestem f´(x) samt monotoniforholdende for f

11. november 2019 af jasm1171 - Niveau: B-niveau

Hvordan løser jeg det her?

:) billede vedlagt

Gerne en detaljeret forklaring jeg er matematik mongol :P

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. november 2019 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. november 2019 af mathon

$\small \begin{array}{llll} f(x)=\ln(x)-\frac{1}{2}x+5\qquad x>0\\\\ f{\, }'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. november 2019 af mathon

$\begin{array}{llll} \textup{fortegnsvariation} \\ \qquad \quad \textup{for }f{\, }'(x)\textup{:}\, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, +\, \, \, \, \, \,\ 0\, \,\, \, \, \, \, \, \, -\\ \qquad \qquad \qquad \, \, x\textup{:}\quad 0---2----\\ \textup{monotoni for }f(x) \, \, \, \textup{voksende}\quad \textup{aftagende} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. november 2019 af ringstedLC

#0: Start med at danne dig et overblik over funktionen, - er der led, faktorer, brøker eller en kombination. Det afgør hvilke regneregler for diff.-kvotienterne, der skal bruges.

$\begin{align*} f(x) &= \ln(x)-\tfrac{1}{2}x+5\;,\;x>0 \\ f'(x) &= \left (\ln(x)\right )'-\left (\tfrac{1}{2}x\right )'+\left (5\right )' \end{align*}$

fordi funktionen består af tre led, bruges sumreglen for diff.-kvotienter.

Slå så diff.-kvotienterne op og opstil den afledede funktion. Bemærk: En betingelse som x > 0 gælder også for den afledede:

$\begin{align*} \left (\ln(x)\right )' &= \tfrac{1}{x} \\ \left (\tfrac{1}{2}x\right )' &= \tfrac{1}{2}\cdot \left (x\right )'=\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2} \\ \left (5\right )' &= 0 \\ f'(x) &= \tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{2}\;,\;x>0 \end{align*}$

Den afledede sættes lig nul for at bestemme mulige ekstremum (ma), (maks./min-værdier). Det gøres fordi funktionen her måske skifter fra fx at være voksende til at være aftagende:

$\begin{align*} f'(x)=0 &= \tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} &= \tfrac{1}{x} \\ x &= 2\wedge 2>0\text{ (betingelse for }f) \end{align*}$

Nu vides at f kun har et ekstremum, hvilket giver to intervaller af f, nemlig [0;2] og [2;∞], der skal undersøges. Det gøres ved fx at beregne:

$\begin{align*} f'({\color{DarkGreen} 1}) &= \tfrac{1}{{\color{DarkGreen} 1}}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}>0\text{ (positiv)} \\ f'({\color{Blue} 4}) &= \tfrac{1}{{\color{Blue} 4}}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4}<0\text{ (negativ)} \\\\ f'(x) &> 0\Rightarrow f \text{ er voksende} \\ f'(x) &< 0\Rightarrow f \text{ er aftagende} \end{align*}$

Endeligt skal maks./min.-værdier beregnes:

$\begin{align*} x_{maks.} &=2 \\ f(x)_{maks.} &=\ln(2)-\tfrac{1}{2}\cdot 2+5 \\ f(x)_{maks.} &= 0.69-1+5=4.69 \\ \end{align*}$

Disse resultater samles på en monotonilinje (eller "sildeben") som i #3 eller tilsvarende.

Skriv et svar til: Bestem f´(x) samt monotoniforholdende for f

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.