Matematik

Regning med funktioner af forskellig grad

15. november 2019 af qwerty18 - Niveau: B-niveau

Opgaven lyder:
a) På figuren nedenfor ses graferne for polynomierne p og q. Hvilke grader må hhv. p og q mindst have?

b) Bestem $\small (pq)(-2), (pq)(3)$ og $\small \left(\frac{p}{q} \right )(2)$ .

c) Hvis p har graden 3 og q har graden 2, hvilke grader har så p+q, p-q, 7p og pq

I alle opgaver må jeg gerne bruge hjælpemidler. Mit CAS-værktøj er TI-Inspire.

Jeg forventer ikke, at i blot løser opgaverne for mig, men leder mere efter generelle formler eller metoder til at løse opgaverne.

Svaret på a er selvfølgelig, at q mindst har graden 2, mens p mindst har graden 3, men hvordan skal jeg regne med disse?

Brugbart svar (1)

Svar #1
15. november 2019 af Eksperimentalfysikeren

Du har formodentlig set grafer for polynomier af første, anden og tredie grad. Sammenlign figuren med dem og løs a) på den måde.

b) (pq)(x) = p(x)*q(x). Aflæs værdierne af p og q ved de tre angvne x-værdier. Gang så smmenhørende p- og q-værdier sammen.

c) Skriv polynomierne ud på formen p(x) = p₂x² + p₁x + p₀ og tilsvarende for q. Brug det til at udtrykke de fire nævnte polynomier.

Brugbart svar (1)

Svar #2
15. november 2019 af SuneChr

p kan faktoriseres, hvis vi kender de tre rødder {- 2, 2, 4}
p (x) = a₁(x + 2)(x - 2)(x - 4) hvor a₁ er en konstant ≠ 0
q faktoriseres analogt
q (x) = a₂(x + 2)(x - 3)

Brugbart svar (1)

Svar #3
15. november 2019 af Eksperimentalfysikeren

Jeg havde overset dit sidste afsnit. Du har helt ret i dine svar på spørgsmål a).

I spørgsmål b) har du ikke brug for graderne. Du skal bare aflæse y-værdierne.

c) se #1.

Brugbart svar (1)

Svar #4
15. november 2019 af Eksperimentalfysikeren

#2 Idéen er ikke helt ved siden af, men heller ikke dækkende for a)

Jeg vil nøjes med at se på p. Der står i opgaven, at man skal arguenteres for, at p er af mindst anden grad. D kurven krydser x-aksen i x=-2 og x=3, kan man slutte, at p(x) = s(x)(x+2)(x-3), hvor s er et polynomium. I forbindelse med c) antages det, at s(x) = p₂.

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. november 2019 af SuneChr

b) Man observerer, at polynomiumskvotienten $\frac{p(x)}{q(x)}$ kun er defineret for x ≠ - 2 og 3

Brugbart svar (1)

Svar #6
15. november 2019 af Eksperimentalfysikeren

Ja, men der er heller ikke bedt om denne udregning for disse to x-værdier, kun for x=2.

Svar #7
16. november 2019 af qwerty18

#1, #2?
b) Denne opgave kan altså løses ved følgende beregninger?
$\small p(x)=a_1(x+2)(x-2)(x-4)$
$\small q(x)=a_2(x+2)(x-3)$

$\small (pq)(-2)=-2\cdot a_1 \cdot a_2 \cdot (x-4)(x-3)(x-2)(x+2)^2$

$\small (pq)(3)=3\cdot a_1 \cdot a_2 \cdot (x-4)(x-3)(x-2)(x+2)^2$

$\small Regneregel: a \cdot \dfrac{b}{c}=\dfrac{ab}{c}$
$\small \left(\dfrac{p}{q}\right )(2)=\dfrac{2\cdot a_1 \cdot (x-4)(x-2)}{a_2\cdot(x-3)}$

Er det helt galt?

Svar #8
16. november 2019 af qwerty18

#1
Hvis jeg i opgave c skal skrive på formen du nævner, hvorfra får jeg mine værdier for hhv. p₂, p₁ og p₀, når jeg ikke kender p₂?

Brugbart svar (1)

Svar #9
16. november 2019 af SuneChr

# 7
(pq)(x) = a₁a₂(x + 2)²(x - 2)(x - 3)(x - 4)
(pq)(- 2) indsæt - 2 i stedet for x.
Benyt nu 0-reglen.

Brugbart svar (1)

Svar #10
16. november 2019 af Eksperimentalfysikeren

$\small (pq)(-2)={\color{Red} -2}\cdot a_1 \cdot a_2 \cdot (x-4)(x-3)(x-2)(x+2)^2$

Der skal ikke noget -2 her.

Du skal slet ikke bruge faktoriseringen her. Du skal aflæse p(-2) og q(-2) og så gange værdierne sammen.

Svar #11
16. november 2019 af qwerty18

#9
Ahh, det er sådan jeg skal forstå den opgave, så har jeg fanget opgave b.

Brugbart svar (1)

Svar #12
16. november 2019 af Eksperimentalfysikeren

#8 Du skal bare skrive formlen med bogstaver. Du behøver ikke at kende værdierne. Eksempel:

$\\(p+q)(x) = p(x)+q(x) =\\ p_2x^2 + p_1x + p_0^+ q_3x^3+q_2x^2+q_1x+q_0=\\ q_3x^3+p-2x^2 +q_2x^2+p_1x +q_1x+p_0 +q_0=\\ q_3x^3 + (p_2+q_2)x^2 + (p_1+q_1)x + (p_0+q_0)$

Svar #13
16. november 2019 af qwerty18

#10
Hov, nu bliver jeg forvirret igen. Skal jeg aflæse p(-2)=0 og q(-2)=0, derefter 0*0, hvor svaret er 0?

Brugbart svar (1)

Svar #14
16. november 2019 af Eksperimentalfysikeren

Ja! Der skal ikke mere til.

Svar #15
16. november 2019 af qwerty18

Tror jeg har fanget det hele nu, vil lige tjekke for at være sikker.

b) Denne opgave bliver altså

$\small p(x)=a_1\cdot(x+2)(x-2)(x-4)$
$\small q(x)=a_2\cdot(x+2)(x-3)$

$\small pq(x)=a_1\cdot a_2 \cdot (x-4)(x-3)(x-2)(x+2)^2$
$\small \dfrac{p}{q}(x)=\dfrac{a_1\cdot (x-4)(x-2)}{a_2\cdot(x-3)}$

$\small pq(-2)=a_1\cdot a_2 \cdot (-2-4)(-2-3)(-2-2)(-2+2)^2=\mathbf{0}$

$\small pq(3)=a_1\cdot a_2 \cdot (3-4)(3-3)(3-2)(3+2)^2=\mathbf{0}$

$\small \dfrac{p}{q}(2)=\dfrac{a_1\cdot (2-4)(2-2)}{a_2\cdot(2-3)}=\mathbf{0}$

c) Og jeg kan får denne opgave til

$\small \phantom{.} \\ (p+q)= \\ p_2x^2+p_1x+p_0+q_3x^3+q_2x^2+q_1x+q_0= \\ q_3x^3+p_2x^2+q_2x^2+p_1x+q_1x+p_0+q_0 = \\ q_3x^3+(p_2+q_2)x^2+(p_1+q_1)x+(p_0+q_0) \\ \\ (p-q)= \\ p_2x^2+p_1x+p_0-q_3x^3+q_2x^2+q_1x+q_0= \\ -q_3x^3+p_2x^2-q_2x^2+p_1x-q_1x+p_0-q_0= \\ -q_3x^3+(p_2-q_2)x^2+(p_1-q_1)x+(p_0-q_0) \\ \\ {\color{Red} 7p= 7\cdot (p_2x^2+p_1x+p_0)} \\ \\ {\color{Red} p \cdot q =(p_2x^2+p_1x+p_0)(q_3x^3+q_2x^2+q_1x+q_0)}$

Funktionerne markeret med rød er jeg i tvivl om jeg skal gange helt ud.

Ser dette korrekt ud? Hvis ikke må i gerne skrive hvor jeg tager fejl.

Brugbart svar (1)

Svar #16
16. november 2019 af Eksperimentalfysikeren

Det ser korrekt ud. Du behøver ikke, at gange det hele ud. Det viftigste er at finde den højeste potens, der forekommer i resultatet. I det eksempel, jeg skrev, er det faktisk kun ledet q₃x³, der er interessant. Det er af tredie grad, så det er polynomiet også, hvis koefficienten er forskellig fra 0, men det er den, da q(x) er af tredie grad.

Svar #17
16. november 2019 af qwerty18

Super! Mange tak for hjælpen til jer begge 2. Undskyld, hvis jeg har været lidt langsom til at forstå tingene :)

Svar #18
16. november 2019 af qwerty18

Der var endnu en opgave, som jeg havde overset i opgaven, den lyder:

d) Løs ligningen og uligheden

$\small (pq)(x)=0$ \text{ og } $(pq)(x) < 0$

Når jeg indtaster funktionerne i TI-Npire og bruge solve funktionen får jeg nogle ekstremt lange svar, kan disse passe?

Og i så fald, er det muligt at skrive dem kortere eller på en mere overskuelig måde?

Brugbart svar (1)

Svar #19
16. november 2019 af ringstedLC

#18: Prøv med:

$\begin{align*} solve\left (a1\cdot a2\cdot (x-4)\cdot (x-3)\cdot (x-2)\cdot (x+2)^2<0,\,x\,|\,a1>0\wedge a2<0 \right ) \end{align*}$

eventuelt:

$\begin{align*} solve\left (a1\cdot a2\cdot (x-4)\cdot (x-3)\cdot (x-2)\cdot (x+2)^2<0\wedge a1>0\wedge a2<0,\,x \right ) \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #20
16. november 2019 af SuneChr

# 18 d), 2
For (pq)(x) < 0 må vi dele op i de to tilfælde, hvor a₁ og a₂ har ens fortegn, og hvor de har forskelligt fortegn.
Vi har:
SP 161120192029.JPG

Vedhæftet fil:SP 161120192029.JPG

Skriv et svar til: Regning med funktioner af forskellig grad

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.