Bestem a, b og c i tredjegradspolynomium

Du skal finde rødderne i f'(x) udtrykt ved a, b og c. Da c=0, kan du sætte x undenfor en parentes og bruge nulreglen til at finde de to rødder. Det er de to x-værdier, hvor kurven har vandret tangent, så den ene er x-koordinaten til A og den anden x-koordinaten til B.Du indsætter også  koordinaterne til B i f(x). Det giver to ligninger, hvoraf du kan finde a og b.

Betingelserne
f (20) = 0
f '(0)  = 0
f '(20) = 0
skal opfyldes.
Løs de tre ligninger med a, b og c som ubekendte.
Det er klart, at A = (0 , 10) da f (0) = 10

Løs i hånden:
    20³a +  20²b + 20c    =  - 10
                               c     =     0
3·20²a + 2·20b    + c     =    0

#0

Jeg har prøvet at differentiere funktionen, og fik: f'(x)=3x^2+2bx. 

Du skulle have fået f '(x) = 3a·x² +2b·x + c.
Du får tre oplysninger:
1) Der er vandret tangent i A(0,f(0)), dvs. f '(0) = 0
2) Rutsjebanen rører jorden i B(20,f(20)), dvs. f(20) = 0
3) Der er vandret tangent i B(20,0), dvs. f '(20) = 0

Af 1) får du ganske rigtigt, at c = 0, men din begrundelse i #0 er ikke helt klar.
Af 2) og 3) får du to ligninger med to ubekendte ( a og b), som så skal løses.

Da c = 0 bortskaffes alle led med c.
Tilbage har vi:
    20³a +  20²b   =  - 10
 3·20²a + 2·20b  =     0
Brug den af metoderne du bedst kan til løsning af to ligninger med to ubekendte.
 

Du skal finde a og b. I de to ligninger, der står i #8 er der tal og a og b.

Gang den nederste ligning med 10 og træk den øvserste fra. Divider på begge sider af lighedstegnet med koefficienten til a. Så har du a. Indsæt i den øverste ligning og isoler b.

#9 Men hvordan løser jeg de to ligninger med to ubekendte, hvis der står bogstaver i ligningen? Det er vel diskriminantformlen, jeg skal gøre brug af, deraf får jeg x1 ig x2, hvad skal disse så bruges til?

Glem alt om disk.-formlen. Det er ikke en andengradsligning bare fordi en konstant er opskrevet som værende opløftet i anden potens. Graden er bestemt af potensen for de(n) ubekendte.

Det er jo ganske normalt at ubekendte betegnes med bogstaver fx x eller y.

Du har lært at og kan ganske givet løse en masse opgaver med en ligning med én ubekendt.

Du har også lært at løse to ligninger med to ubekendte og på dit niveau burde du i princippet kunne løse n ligninger med n ubekendte.

Se her: https://www.webmatematik.dk/lektioner/7-9-klasse/ligninger/to-ligninger-med-to-ubekendte, bemærk niveauet og brug denne opgave til at få repeteret denne disciplin.

#9 Hvis du ikke kan lide navnene på de ubekendte i #8, så omdøb dem til x og y.

Selv tak. Når man har løst en ligning eller et ligningssystem i hånden, kan løsningen tjekkes ved at indsætte den (dem) i den (de) oprindelige ligning(er):

så mindst en af værdierne er forkerte. Uden dine udregninger kan du ikke hjælpes, men gå nu logisk frem og find fejlen. Beregn igen og tjek. Det giver dig rutine i teknikken, styrker dig i hovedregning og giver selvværd.

#15 rettelse:

# 0
Det er vigtigt, når man "gør prøve", at de(t) resultat(er) er pinlig nøjagtig(e), da, i modsat fald, man
ikke vil få ligningen til at passe ved indsætning.
Hvis man f.eks. får x₁ =  , skal denne størrelse indsættes på x₁ 's plads, og ikke x₁ = 2,6458
Ligningen kan ikke selv "tænke", at sidstnævnte tal (sikkert) må være  .
 

Metoden, som er brugt i "18 kaldes de lige store koefficienters metode". Man ganger eller dividerer ligningerne igennem med tal, der bevirker, at én af de ubekendte får samme koefficient i begge ligninger (evt. som her med forskelligt fortegn). Derefter subtraheres den ene ligning fra den anden, hvis fortegnene er ens, ellers adderes de som i #18.

Det var samme metode, jeg var inde på i#10. Her valgte jeg at gange den øverste ligning igennem med 10 for at få koefficienterne lige store.