Matematik

nogen kan der kan hjælpe mig (topologi)

17. december 2019 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

nogen der kan hjælpe mig med denne her opgave. Er helt lost og ved ikke hvordan jeg skal gå igang med den


Brugbart svar (0)

Svar #1
17. december 2019 af chyvak


Kompaktheden af A og B er helt central idet den gør det muligt at udvælge endelige overdækninger med ønskværdige egenskaber. Vælg et element b i B.  For ethvert a i A kan vi vælge åbne mængder U_a  (indeholdende a) og V_a (indeholdende B) således at U_a fælles med V_a er den tomme mængde (hvorfor kan vi det?). Som a gennemøber A vil U_a danne en åben overdækning af A og da A er kompakt findes derfor en endelig overdækning U_a1,...,U_an. Foreningsmængden af dem betener vi med U_b (bemærk indeks b indikerer at denne endelige åbne overdækning af A gælder for et bestemt b). Da U_b er foreningen af endeligt mange åbne mængder er U_b åben, og det gælder endvidere at A er en delmælngde af U_b (hvorfor?).

Betegn endvidere fællesmængden af V_a1,...,V_an med V_b. Bemærk at V_ai er den åbne mængde i B indeholdende B som korresponderer U_ai og derfor har tom fællesmængde dermed. Som b gennemløber B danner V_b’erne en åben overdækning af B, og for ethvert b i B gælder at V_b og U_b har tom fællesmængde.

Nu har vi brugt at A er kompakt. Vi bruger nu at B er kompakt:

Da V_b’erne danner en overdækning af B og da B er kompakt findes en endelig overdækning, altså et endeligt antal V_bi  hvis foreningsmængde er B. Da foreningen af åbne mængder er åben, er denne overdækning åben. Til hvert V_bi svarer et U_bi således som konstrueret ovenfor. Vi danner nu fællesmængden af dem. Denne fællesmængde er åben, da den er fællesmængden af et endeligt antal åbne mængder. Da hvert U_bi indeholder A vil også deres fællesmængde indeholde A. Endvidere et U_bi og V_bi disjunkte (per konstruktion ovenfor). Det gælder derfor at foreningsmængden af U_bi og fællesmængden af V_bi er disjunkte, og det er derfor de to søgte mængder U og V.


Skriv et svar til: nogen kan der kan hjælpe mig (topologi)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.