Matematik

Løse inhomogen differentialligning med komplekse rødder.

09. januar kl. 12:07 af Kraes4 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg har denne differentialligning

x''+2x=4t^2.

Jeg finder først den homogene ved hjælp af karakterligning, og kommer frem til en diskrimant

d = 0^2-4*a*c = 4*1*2 , d = -8

d = \frac{+-sqrt-8}{2*a}

Derfor har vi at vores diskrimant er 

d = \frac{+-sqrt(8i)}{2}

dette reduceres til

-+sqrt(4i)

d = 2i

Vi skriver det på standardform for komplekse tal

0+2i

Vi har nu vores løsning til den homogene.

Yh = C1e^0cos(2t)+C2e^0sin(2t))

Hvilket giver

Yh = C1cos(2t)+C2sin(2t))

Vi finder Yp ved at "gætte" en løsning. Det er et andengradspolynomium

Yp=At^2+bt+c

Yp'=2At+b

Yp''=2A

Vi indsætter dette i vores oprindelige differentialligning, og isolerer.

2a+2(at^2+bt+c)=4t^2

A = 2, C=-2, B = 0

Ved hjælp af superpositionsprincippet får vi at løsningen er

Yh+Yp, derfor har vi

Yh = C1cos(2t)+C2sin(2t))+2t^2+2t


Nu er mit spørgsmål så - det eneste svar jeg har i mit opgavesæt der ligner er

C1cos(t)+c2sin(t)+2t^2+2

Så hvor går jeg galt i mine rødder siden jeg får beta til 2 og de får det til 1?

Mvh


Brugbart svar (0)

Svar #1
09. januar kl. 12:19 af mathon

\small \small \small \small \small \begin{array}{llll} \textup{karakterligning:}&r^2+2=0\\\\&r=\mp \sqrt{2}\cdot i\\\\\textup{fuldst\ae ndig}\\\textup{homogen l\o sning:}&x_h(t)=C_1\cdot \cos(\sqrt{2}\cdot t)+C_2\cdot \sin(\sqrt{2}\cdot t) \end{array}


Svar #2
09. januar kl. 12:22 af Kraes4

Tak mathon, jeg fandt frem til svaret :D 


Skriv et svar til: Løse inhomogen differentialligning med komplekse rødder.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.