Matematik

Ellipsens ligning

26. marts kl. 22:11 af chewiie - Niveau: A-niveau

Hej jeg skal bevise ellipsens ligning, hvor jeg skal anvende en ledelinje men synes ikke jeg kan finde et eksempel på et bevis hvor ledelinjen anvendes. nogen som kan hjælpe? 

Tak på forhånd :))


Brugbart svar (0)

Svar #1
26. marts kl. 22:29 af StoreNord

En snor fra det ene brændpunkt gennem et punkt på ellipsen til det andet brændpunkt har altid samme længde, ligegyldigt hvilket punkt man vælger på ellipsen.


Brugbart svar (0)

Svar #2
26. marts kl. 23:49 af Eksperimentalfysikeren

Tegn en x-akse. Tegn ledelinien vinkelret på aksen og tegn brændpunktet. Giv deres x-koordinater navne. Vælg et punktP=(x,y), der antages at ligge på ellipsens periferi. Opskriv udtrykkene for P's afstande fra brændpunktet og fra ledelinien. Forholdet mellem dem er lig med excentriciteten. Skriv det op. Så har du en ligning, som du kan regne videre med. Du får brug for at vælge, hvor x-aksens nulpunkt skal ligge. Det skal lægges, så det bliver centrum for ellipsen.


Brugbart svar (0)

Svar #3
28. marts kl. 12:36 af mathon

At forstå nedenstående uden forud at have udarbejdet en overskuelig skitse er nok ikke nemt.

Lad være givet n linje \small l, et punkt \small F, der ikke ligger på \small l og et tal \small e\in\mathbb{R}_+.

Af interesse er mængden af punkter \small P i planen, hvis afstande \small \left |PF \right | fra \small F og \small \left | Pl \right | fra \small l har forholdet \small e
dvs
          \small K=\left \{ P(x,y)\mid \left | PF \right |=e\cdot \left | Pl \right |\right \}

For at finde en ligning for \small K vælger vi et ortonormalt koordinatsystem \small \left \{ F,\mathbf{i},\mathbf{j} \right \},  således at 2. aksen er parallel med \small l, og at \small l tilhører 2. aksens negative halvplan. 
Idet afstanden \small \left | Fl \right | mellem \small F og \small l betegnes med \small d, er \small x=-d en ligning for \small l.


Brugbart svar (0)

Svar #4
28. marts kl. 12:57 af mathon

Vi har da
                     \small K=\left \{ P(x,y) \mid \sqrt{x^2+y^2}=e\cdot \left | x+d \right |\right \}

altså at
                     \small \sqrt{x^2+y^2}=e\cdot \left | x+d \right |
og dermed
                      \small \small \mathbf{1.1}\quad x^2+y^2=e^2\cdot \left ( x+d \right )^2

Keglesnittet er \small K er symmetrisk om 1. aksen . Af 2. aksen indeholder \small K punkterne \small C_1(0,ed) og \small C_2(0,-ed).

Det er sædvane at kalde afstanden \small \left | C_1C_2 \right | for keglesnittets parameter og betegne den med \small p.

For parameteren gælder altså

                     \small p=2ed.

Ligningen for ledelinjen \small l kan da skrives \small x=-\frac{p}{2e} og 1.1 kan skrives

                     \small x^2+y^2=e^2\cdot \left ( x+\frac{p}{2e} \right )^2
hvilket er ensbetydende med

                    \small \small \mathbf{1.2}\quad (1-e^2)x^2-pex+y^2-\tfrac{p^2}{4}=0


Brugbart svar (0)

Svar #5
28. marts kl. 13:02 af Eksperimentalfysikeren

#3 Hvorfor den negative halvplan? Det virker lige så godt med den positive. Med det koordinatsystem, du har valgt, kommer man ikke frem til ligningen x2/a2+y2/b2=1, hvilket er målet i #1.

Jeg synes vi skal se, hvad trådstarter er kommet frem til.


Brugbart svar (0)

Svar #6
28. marts kl. 13:47 af mathon

For en ellipse er 

                            \small \mathbf{0<e<1}

Ligning 1.2 for \small K er da ensbetydende med 

                            \small x^2-\frac{pe}{1-e^2}x+\frac{y^2}{1-e^2}=\frac{p^2}{4(1-e^2)}
og derfor med

                            \small \left (x-\frac{pe}{2(1-e^2)} \right )^2+\frac{y^2}{1-e^2}=\frac{p^2}{4(1-e^2)^2}

altså med
                             \small \mathbf{1.3}\quad \frac{\left (x-\frac{pe}{2(1-e^2)} \right )^2}{\frac{p^2}{4(1-e^2)^2}}+\frac{y^2}{\frac{p^2}{4(1-e^2)}}=1

Idet vi sætter 
                                \small a=\frac{p}{2(1-e^2)}  og  \small b=\frac{p}{2\sqrt{1-e^2}}
har vi
                                a > 0  og  b > 0  
og 1.3 kan skrives:

                             \small \frac{\left (x-ae \right )^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1


Brugbart svar (0)

Svar #7
28. marts kl. 14:17 af mathon

For en ellipse er 

                            \small \mathbf{0<e<1}

Ligning 1.2 for \small K er da ensbetydende med 

                            \small x^2-\frac{pe}{1-e^2}x+\frac{y^2}{1-e^2}=\frac{p^2}{4(1-e^2)}
og derfor med

                            \small \left (x-\frac{pe}{2(1-e^2)} \right )^2+\frac{y^2}{1-e^2}=\frac{p^2}{4(1-e^2)^2}

altså med
                             \small \mathbf{1.3}\quad \frac{\left (x-\frac{pe}{2(1-e^2)} \right )^2}{\frac{p^2}{4(1-e^2)^2}}+\frac{y^2}{\frac{p^2}{4(1-e^2)}}=1

Idet vi sætter 
                                \small a=\frac{p}{2(1-e^2)}  og  \small b=\frac{p}{2\sqrt{1-e^2}}
har vi
                                a > 0  og  b > 0  
og 1.3 kan skrives:

                             \small \frac{\left (x-ae \right )^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Heraf ses, at keglesnittet skærer 1. aksen i punkterne \small A(ae-a,0)  og  \small A_1(ae+a,0) med afstanden \small 2a
og at det skærer linjen \small m med ligningen \small x=ae i punkterne \small B(ae,b)  og  \small B_1(ae,-b) med afstanden \small 2b

Da der er symmetri omkring linjen \small m=ae er det formålstjenligt forenklende at parallelforskyde keglesnittet \small K 
med
parallelforskydningsvektor \small \bigl(\begin{smallmatrix} -ae\\ 0 \end{smallmatrix}\bigr)
hvorefter \small 1.3 kan skrives

                             \small \frac{ x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1


Brugbart svar (0)

Svar #8
28. marts kl. 14:22 af mathon

se bort fra #6. LATEX var skiftevis 'oppe' og 'nede' under udfærdigelsen, hvorfor der gik rod i det.


Brugbart svar (0)

Svar #9
29. marts kl. 10:22 af mathon

hvorefter \small 1.3  i  \small \left \{ C,\textit{\textbf{i}},\textit{\textbf{j}} \right \}

kan skrives

                             \small \frac{ x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1


Skriv et svar til: Ellipsens ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.