Matematik

Gør prøve 2. ordens differentialligninger

27. marts 2020 af nora9000 - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg skal gøre prøve, men er i tvivl om hvordan jeg differentere y=c1*sin(k*t)+c2*cos(k*t). Er nemlig i tvivl om hvad der sker med sin og cosinus når man differentiere to gange.

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. marts 2020 af peter lind

sin(x)' = cos(x)

sin(x)'' = cos(x)' = -sin(x)

Brugbart svar (1)

Svar #2
27. marts 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}&y=c_1\cdot \sin(k\cdot t)+c_2\cdot \cos(k\cdot t)\\\\&\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=k\cdot c_1\cdot \cos(k\cdot t)-k\cdot c_2\cdot \sin(k\cdot t)\\\\&\frac{\mathrm{d^2}y }{\mathrm{d} x^2}=-k^2\cdot c_1\cdot \sin(k\cdot t)-k^2\cdot c_2\cdot \cos(k\cdot t) \end{array}$

Svar #3
27. marts 2020 af nora9000

Forsvinder konstanterne ikke? C1 og C2?

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. marts 2020 af mathon

Nej.

Svar #5
27. marts 2020 af nora9000

Det fordi jeg skal gøre prøve for at y''=-k^2*y. har en løsning som er den foroven. Men kan ikke få det til at gå op

Brugbart svar (1)

Svar #6
27. marts 2020 af Anders521

# 5 Så du har at

y'' = -k²·y ⇔ -k²·c₁·sin(kt) - k^2·c₂·cos(kt) = -k² ·[ c₁·sin(kt) + c₂·cos(kt) ]

⇔ -k² ·[ c₁·sin(kt) + c₂·cos(kt) ] = -k² ·[ c₁·sin(kt) c₂·cos(kt) ]

Brugbart svar (1)

Svar #7
27. marts 2020 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll}&y=c_1\cdot \sin(k\cdot t)+c_2\cdot \cos(k\cdot t)\\\\&\frac{\mathrm{d^2}y }{\mathrm{d} x^2}=-k^2\cdot c_1\cdot \sin(k\cdot t)-k^2\cdot c_2\cdot \cos(k\cdot t) = -k^2\cdot \left ( c_1\cdot \sin(k\cdot t)+c_2\cdot \cos(k\cdot t) \right )=-k^2\cdot y\end{array}$

Svar #8
27. marts 2020 af nora9000

Men højre og venstre side skal være ens.

Venstre side: y'' = -k2·c1·sin(kt) - k2·c2·cos(kt)

højre side: y''= -k2 + -k2·c1·sin(kt) - k2·c2·cos(kt).

Hvordan kan højre side plusset sammen, ende med at give venstre side. Forstår det ikke, men tak for hjælpen!

Brugbart svar (1)

Svar #9
28. marts 2020 af Anders521

# 8

Ja, begge sider skal være ens. Har du læst nøje #6 og #7. Brug evt. papir og blyant. Bemærk:

Venstre side: y'' = -k^2·c₁·sin(kt) - k²·c₂·cos(kt)

Højre side : -k²·y = -k²· [ c₁·sin(kt) + c₂·cos(kt) ] = ...

Skriv et svar til: Gør prøve 2. ordens differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.