Matematik

Bestem k så der er to nulpunkter.

15. april 2020 af matHTX2021 - Niveau: B-niveau

se vedhæftning. opg b)

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2020-04-15 kl. 20.41.42.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. april 2020 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. april 2020 af swpply (Slettet)

Opløsningen af opgaven er ikke for god.

Er her tale om et andengradspolynomium eller et tredjegradspolynomium?

Svar #3
15. april 2020 af matHTX2021

Jeg mener det er et, 3.gradspolynomie? Får nemlig 3 nulpunkter...

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. april 2020 af swpply (Slettet)

#3

Jeg mener det er et, 3.gradspolynomie? Får nemlig 3 nulpunkter...

Såfremt at der er tale om tredjegradspolynomiet

$f(x) = x^3 - 2x +k$

kan du bruge at der for et generalt tredjegradspolynomium gælder at det altid har mindst én reel rod $r$ . Hvorfor at vi kan faktorisere $f(x)$ på følgende vis

$f(x) = (x-r)(x^2+rx + r^2 -2)$ ,

hvor at

$k = r(2-r^2)$ .

Der gælder derfor at $f(x)$ netop har to rødder såfremt at andengradspolynomiet $(x^2 +rx +r^2 -2)$ i ovenstående faktorisering har netop én løsning. Dvs. netop når dets diskriminant forsvinder

$\begin{align*} r^2-4(r^2 - 2) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad r = \pm\sqrt{\frac{8}{3}} \end{align*}$ .

Altså har tredjegradspolynomiet $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ eksakt to løsnigner netop når

$\begin{align*} k &= r(2-r^2) \\ &= \pm\sqrt{\frac{8}{3}}\bigg(2 - \frac{8}{3}\bigg) \\ &= \pm\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} \end{align*}$

Skriv et svar til: Bestem k så der er to nulpunkter.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.