Matematik

Hvorfor er y=b*e^kx en eksponentiel

23. maj 2020 af Trojanskhest - Niveau: A-niveau

Hej allesammen

Er der nogle der kan matematik begrunde hvorfor man nogle ganger skriver eksponentielle funktioner på formen

f(x)=b*e^kx og ikke f(x)=b*a^x

tak på foehåns

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. maj 2020 af janhaa

a, b og k er bare konstanter

$f(x)=b*a^x=b*e^{\ln(a)*x}=b*e^{kx}\\ hvor\\ k=\ln(a)$

Svar #2
23. maj 2020 af Trojanskhest

Kan du uddybe hvorfor a^x er det samme som e^ln(a)*x?

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. maj 2020 af janhaa

fordi

e^x og ln(x) er inverse functions

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. maj 2020 af Capion1

# 2
Gør prøve:

$a^{x}=e^{x\ln a}\Leftrightarrow x\ln a=\left ( x\ln a \right )\ln e$
Da ln e = 1, er identiteten vist.

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. maj 2020 af Sveppalyf

Der er en potensregneregel der siger

(a^m)ⁿ = a^m*n

Den kan du bruge til at lave omskrivningen

e^kx = (e^k)^x

e^k er jo bare en konstant, så den kan vi omdøbe til a. Vi har derfor

e^kx = (e^k)^x = a^x

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. maj 2020 af ringstedLC

#0: Det afhænger ofte af den sammenhæng, hvori funktionen bruges.

#2: eller

$\begin{align*} a^x=e^{\ln(a)\cdot x} &= \left (e^x\right )^{\ln\,(a)}\;,\;r^{s\,\cdot \,t}=\left (r^s\right )^t \text{ er en potensregel} \\ \ln\left (a^x \right ) &= \ln\left( \left(e^x\right )^{\ln\,(a)}\right) \\ x\cdot \ln(a) &= \ln(a)\cdot \ln\left (e^x\right )\;,\;\ln\left (r^s \right )=s\cdot \ln(r) \text{ er en logaritmeregel} \\ &= \ln(a)\cdot x \cdot \ln\left (e\right ) \\ \cancel{x}\cdot \cancel{\ln}(a) &= \cancel{\ln}(a)\cdot \cancel{x} \;,\; \ln\left (e\right )=1 \\ a &= a \\ a^x &= e^{\ln(a)\cdot x} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. maj 2020 af Eksperimentalfysikeren

f(x) = b*e^ax kaldes en eksponentialfunktion, fordi den uafhængige variable, x, er en del af eksponenten.

g(x) = b*x^a kaldes en potensfuntion, fordi den uafhængige variable, x, x^a er en potens af x.

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. maj 2020 af mathon

I FYSIK er der tradition for notationen

$\small y=b\cdot e^{k\cdot x}$
da man ofte til beskrivelse af kvantitative begreber har brug for at udtrykke sig via en konstant.

I MATEMATIK er der tradition for notationen

$\small y=b\cdot a^{ x}$
da det her oftest drejer sig om at beregne en af de variable x eller y.

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. maj 2020 af mathon

...derfor er det vigtigt at kunne bruge begge former,
der bl.a. involverer:

$\small \begin{array}{c|c} y=b\cdot e^{kx}&y=b\cdot a^x\\\\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=k\cdot y&\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\ln(a)\cdot y\\\\ \int b\cdot e^{kx}\, \mathrm{d}x=\frac{1}{k}\cdot y+C_1\quad &\quad \int b\cdot a^x\, \mathrm{d}x=\frac{1}{\ln(a)}\cdot y+C_2 \end{array}$

hvor 'nøglen' er $\small k=\ln(a)$

Skriv et svar til: Hvorfor er y=b*e^kx en eksponentiel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.