Matematik

Krydsprodukt er ortogonale

08. august kl. 13:38 af daarligeMien - Niveau: A-niveau

Jeg har et eksamensspørgsmål som lyder følgende:

"Definer krydsproduktet for vektorer i 3D, og bevis at krydsproduktet af 2 vektorer er ortogonal på disse"

Definitionen er ret simpel, det har jeg fundet. 

Men jeg kan ingen steder finde et  bevis for det sidste. Nogen som kan lede mig i den rigtige retning? :)


Brugbart svar (0)

Svar #1
08. august kl. 13:53 af peter lind

Jeg har altså fåetdefineret krydsproduktet ud fra at retningen skal være ortogonal på de oprindelige vektorer. Hvis du bare har fået de tdifineret det ved koordinater kan du beregne krydsproduktet skalært med de originale vektorer altså hvis a×b = c så vise at c·a = c·b=0


Svar #2
08. august kl. 14:15 af daarligeMien

#1

Jeg er ikke helt med, Peter. Er det muligt at henvise til en bog, en side på nettet, eller en video som netop belyser dette? Jeg kan godt lide at have det grafiske med! :)


Brugbart svar (1)

Svar #3
08. august kl. 14:51 af peter lind

Hvad er problemet ?

Du kan jo prøve webmatematik eller Khan akademi https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/vektorer-i-3d/krydsprodukt   https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/dot-cross-products/v/linear-algebra-cross-product-introduction


Svar #4
08. august kl. 18:49 af daarligeMien

#3

Hvad er problemet ?

Du kan jo prøve webmatematik eller Khan akademi https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/vektorer-i-3d/krydsprodukt   https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/dot-cross-products/v/linear-algebra-cross-product-introduction

Men er det bare at bevise krydsproduktet af to vektorer også er det automatisk ortogonalt, eller skal jeg gøre noget mere?


Brugbart svar (1)

Svar #5
08. august kl. 19:54 af ringstedLC

#4: Man kan ikke bevise krydsproduktet af to vektorer. Krydsproduktet er en definition.

Men du skal bevise, at krydsproduktet (en vektor) er ortogonalt på hver af dets vektorer. Det gøres ved at vise at prikproduktet af krydsproduktet og henholdsvis den ene og den anden af vektorerne er nul.


Brugbart svar (1)

Svar #6
08. august kl. 21:39 af mathon

                            \small \begin{array}{llllll} \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\\\\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2\\a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}\\\\ \overrightarrow{a}\cdot \left ( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right )=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2\\a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}=\\\\ a_1a_2b_3-a_1a_3b_2+a_2a_3b_1-a_1a_2b_3+a_1a_3b_2-a_2a_3b_1=0\\\\ \overrightarrow{b}\cdot \left ( \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} \right )=\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2\\a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}=\\\\ a_2b_1b_3-a_3b_1b_2+a_3b_1b_2-a_1b_2b_3+a_1b_2b_3-a_2b_1b_3=0 \end{array}


Svar #7
09. august kl. 09:21 af daarligeMien

#5 og 6 

Mange tak begge to, så blev jeg en del klogere! 


Skriv et svar til: Krydsprodukt er ortogonale

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.