Bevis af ulighed

27. august 2020 af Gauss10 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg skal bevise, at der for alle x og y gælder

$\frac{1}{2} (x^2+y^2)\geq xy.$

Hvilken type bevis skal jeg benytte mig af, og hvordan starter jeg med at gribe beviset an?

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. august 2020 af peter lind

Træk x*y over på venstre side

gang uligheden med 2

Brug reglen om kvadratet på en toleddet størrelse

Svar #2
27. august 2020 af Gauss10 (Slettet)

Jeg er så kommet frem til

$(x-y)^2\geq 0 \Leftrightarrow x \geq y.$

Men hvad siger det om den oprindelige ulighed, at x er større eller lig med y?

Svar #3
27. august 2020 af Gauss10 (Slettet)

Skal jeg tjekke begge tilfælde, hvor x = y og x > y og substituere y med x og x + 1? I så fald får jeg:

x = y:

$\frac {1}{2} \cdot 2x^2 \geq x^2 \Leftrightarrow x^2 \geq x^2.$

x > y:

$\frac {1}{2}((x+1^2)+x^2) \geq x(x+1) \Leftrightarrow 2x^2+2x+1 \geq 2x^2+2x.$

Venstre side af uligheden er sand for begge tilfælde, så uligheden gælder for alle x og y. Er dette en rigtig deduktion?

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. august 2020 af Capion1

Nej.
(x² + y²) ≥ 2xy ⇔ (x² + y²) - 2xy ≥ 0 Og hvad så?

Svar #5
27. august 2020 af Gauss10 (Slettet)

Da der gælder

$x^2+y^2 = (x-y)^2+2xy$

giver det

$(x^2+y^2)-2xy \geq 0 \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0 \Leftrightarrow x-y \geq 0 \Leftrightarrow x \geq y?$

Er det korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #6
27. august 2020 af Capion1

(x - y)² ≥ 0 ja. Kvadratet er ikke-negativt for alle x og y.

Svar #7
27. august 2020 af Gauss10 (Slettet)

Tak for svarene.

Skriv et svar til: Bevis af ulighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.