Matematik

Bevis, at ligningen f(x) = 0 ikke har nogen løsninger i (0,π), og at den har præcis en løsning i (π, 2π).

20. september kl. 20:30 af 123hej10 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, er der nogen der kan forklare hvordan man løser opg c) i den vedhæftede opgave? (uden hjælpemidler)

Mvh.


Brugbart svar (0)

Svar #1
20. september kl. 21:40 af Soeffi


Brugbart svar (0)

Svar #2
20. september kl. 21:40 af Cudex

dette er jeg også interasseret i at vide


Brugbart svar (0)

Svar #3
20. september kl. 21:49 af Soeffi

#0. En graf til hjælp. x=π er vist. Bemærk at f ikke er defineret i x=p·π, hvor p ∈ Z (herunder x = 0, selvom det ikke kan ses på figuren). 

Vedhæftet fil:Untitled.png

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. september kl. 22:07 af Cudex

Hvordan kan dette bruges som hjælp ? #3


Brugbart svar (0)

Svar #5
20. september kl. 22:09 af Anders521

#1 & #2 Hvilke overvejelser har I gjort jer om delopgaven?


Svar #6
20. september kl. 22:11 af 123hej10

#5 jeg tænker noget med at omskrive så tan(x) er med og så noget med Rolles teorem og noget med enhedscirklen. Jeg har set en hel masse andre svar her på siden der siger noget med dette, men kan ikke få det til at hænge sammen.

Jeg tænker denne video har en pointe man kan bruge: https://www.youtube.com/watch?v=0t_HfqNAcsk


Svar #7
20. september kl. 22:14 af 123hej10

Derudover har jeg skrevet det jeg har vedhæftet, men jeg ved ikke om det er rigtigt


Brugbart svar (0)

Svar #8
20. september kl. 22:28 af Anders521

#6 & #7 Jeg havde nu tænkt på at lave et modstridsbevis. Men med brugen af Skæringssætning ser besvarelsen rigtigt ud. Mon ikke du kan bruge sætningen mht. intervallet (π,2π)?


Svar #9
20. september kl. 22:33 af 123hej10

Hej, jeg har blot fået afvide at man kun kan bruge skæringssætningen på lukkede intervaller. Men man kan stadig bruge den?

Brugbart svar (0)

Svar #10
20. september kl. 22:39 af Anders521

#9 Der er nok flere varianter af den på nettet, men ka' du tage et billede af sætningen fra din lærebog? 


Svar #11
20. september kl. 23:55 af 123hej10

Ja

Brugbart svar (0)

Svar #12
21. september kl. 11:27 af Cudex

Hvordan kan det løses med et modstridsbevis hvis man ikke må benytte skæringsætningen?


Brugbart svar (0)

Svar #13
21. september kl. 15:47 af Soeffi

#0. a) Man opskriver f(x) på fælles brøkstreg og Taylor-udvikler:

f(x)=\frac{2}{x}-\frac{2\cdot cos(x)}{sin(x)}={\color{Red} \frac{2\cdot (sin(x)-x \cdot cos(x))}{x\cdot sin(x)}}=

{\color{Blue} 2\cdot x\cdot \frac{ (1/2!-1/3!)+x^2(1/5!-1/4!)+...}{1-x^2/3!+x^4/5!-...}}

Heraf ses at...

{\color{Blue} \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0}   og   {\color{Red} \lim_{x\rightarrow \pi^-}f(x)=\infty}

b) Man skal vise, at f' > 0 i de pågældende intervaller (idet |x| > |sin(x)| for x ≠ 0).

f'(x)= 2 \cdot \frac{cos^2(x)+x^2-1}{x^2\cdot sin^2(x)}=2 \cdot \frac{x^2-sin^2(x)}{x^2\cdot sin^2(x)}>2 \cdot \frac{x^2-x^2}{x^2\cdot sin^2(x)}=0

Man ser heraf, at f er strengt voksende i hvert interval af definitionsmængden.

c) Vi har vist, at f har grænseværdien 0 for x gående mod 0+, og at f er strengt voksende i intervallet ]0;π[. Da f > 0, når x går mod venstre interval-endepunkt og strengt voksende, så kan f ikke have nulpunkter i intervallet.

I intervallet ]π;2π[ gælder, at f går mod -∞ for x gående mod π+ og mod +∞ for x gående mod 2π-. Da f er strengt voksende i intervallet, så må der også være et nulpunkt i dette.


Svar #14
21. september kl. 17:37 af 123hej10

hej,#13 kan du uddybe dit svar i c) det giver ikke så meget mening. er det fx en bestemt sætning du kigger på?


Brugbart svar (0)

Svar #15
21. september kl. 20:10 af Soeffi

#14

hej,#13 kan du uddybe dit svar i c) det giver ikke så meget mening. er det fx en bestemt sætning du kigger på?

Sætningen hedder: Hvis noget starter med at være større end 0 og vokser, så kan det ikke blive 0. Du kan kalde den Soeffis sætning hvis du vil.


Svar #16
21. september kl. 20:17 af 123hej10

Det kan jeg nok ikke skrive i min aflevering...

Brugbart svar (0)

Svar #17
22. september kl. 02:01 af Anders521

#16 Det er mening, at du skal vise/argumentere, at der ikke er nulpunkter i intervallet (0,π).

Fra delopgave a) ved du, at limx→0+f(x)=0, dvs. når f konvergerer mod 0 fra højre er grænseværdien 0.        Fra delopgave b) ved du at f er voksende for ethvert x∈(nπ,(n+1)π), dvs. enhver funktionsværdi f(x1)<f(x2) vil være positiv, når x1<x2 vælges indenfor intervallet (nπ,(n+1)π). Grafen for f ligger derfor over x-aksen                         

Med disse to ting i mente, vil f ikke have nogen nulpunkter i intervallet (0,π).                                                        Prøv ellers at se figuren i #3 (eller i vedhæftet billede)

Vedhæftet fil:Billede.png

Skriv et svar til: Bevis, at ligningen f(x) = 0 ikke har nogen løsninger i (0,π), og at den har præcis en løsning i (π, 2π).

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.