Matematik
Cirkler og linjernes skæring
Jeg forsøger at forstå først at forstå cirklens centrum udefra eksemplet herunder:
Hvis man kender cirklens centrumkoordinater og linjens ligning, kan man beregne den vinkelrette afstand mellem centrum og linje ved hjælp af distanceformlen. Hvis denne afstand er mindre end radius vil der være to skæringer, hvis den er lig radius vil der være et røringspunkt, og hvis den er større end radius vil der ikke være nogen skæringer.
Eksempel:
Skærer linjen l: y=2x+4 cirklen C: (x-1)2+(y+3)2=36 ?
Cirklens centrum er altså (1, -3) og radius er 6.
Vi finder afstanden mellem linjen og cirklen vha. distanceformlen
dist(C,l)=|ax1+b−y1|a2+1−−−−−√=|2⋅1+4−(−3)|22+1−−−−−√=95–√≈4,02dist(C,l)=|ax1+b−y1|a2+1=|2⋅1+4−(−3)|22+1=95≈4,02
Da afstanden mellem centrum og linje er mindre end radius er der altså to skæringer.
Kan man bestemme cirklens koordinater hvis man nu KUN får cirklens ligning? Hvis ja er der nogle som vil forklare det på en virkelig simpel måde, fordi der er meget jeg endnu ikke har styr på i matematik
https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/geometri/cirkler-og-linjers-skaring
Svar #1
07. oktober 2020 af Capion1
Jo, men når man har cirklens ligning
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
så har man alle par af (x , y) der vil passe i ligningen.
Dine betragtninger om en linjes tre muligheder i forhold til cirklen er rigtig.
Der er måske også en fjerde mulighed, linjen gennem centrum, diameteren.
Svar #2
07. oktober 2020 af Capion1
Hvis du er fortrolig med brug af mængdesymbolet, er cirklen med radius r og centrum (a , b)
punktmængden
{(x , y) | (x - a)2 + (y - b)2 = r2 }
Svar #3
07. oktober 2020 af UCL (Slettet)
Altså jeg er nogenlunde med på en cirkel med centrum i C =
(x- a)2 + (y -b)2 = r2
Men jeg forstår IKKE udefra eks. hvordan ligningen :
Skærer linjen l: y=2x+4 cirklen C: (x-1)2+(y+3)2=36 ?
Cirklens centrum er altså (1, -3) og radius er
Diameteren er 36 også er kvadratroden af 36 = 6, altså radius....
(x-1), A: 1? (hvorfor minus 1, og ikke 1)
(y+3) B: 3 ?
Svar #4
07. oktober 2020 af Capion1
Cirklens ligning er en følge af Pythagoras' sætning om den retvinklede trekant, a2 + b2 = c2
hvor a er x-afstanden fra centrum og b er y-afstanden fra centrum og c er radius (og hypotenuse).
Diameteren du nævner, er ikke 36, men 2r = 12. Diameteren interesserer vi os ikke for i cirkelligningen.
Husk, at (y - (- 3)) = (y + 3)
Svar #5
07. oktober 2020 af Anders521
#3 Hvis jeg forstår dig ret, så spørger du, hvorfor der i cirklens ligning står leddet (x-1)2 og ikke (x+1)2. Det skyldes at centrummets x-koordinat er 1, dvs. x = 1 og ved omskrivning får du x -1 = 0.
Du spørger også om hvordan linjen skærer cirklen. Som du har læst i eksemplet er cirklens radius 6, og bruges afstandsformlen fås resultatet 4,02. Men 4.02 < 6, dvs. linjen skærer cirklen og de har to punkter til fælles. Havde resultatet været større end tallet 6, så er der ingen skæring og dermed ingen fællespunkter. Havde resultat været 6, dvs. det samme som cirklens radius, så havde linjen været en tangent til cirklen, og de vil have netop et punkt til fælles.
Svar #6
07. oktober 2020 af UCL (Slettet)
Jeg forsøger lige nu kun at finde frem til hvordan det er man kommer frem til :
#1. Cirklens centrum er altså (1, -3) og radius er 6. Hvis man cirklens ligning: y=2x+4 cirklen
Skriv et svar til: Cirkler og linjernes skæring
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.