Matematik

8/5 = ln(5) uden brug af CAS.

08. januar 2021 af qwerty18 - Niveau: A-niveau

Opgaven lyder:

Afgør uden brug af CAS, om linjen med ligningen $y=\frac{1}{5} x+\frac{3}{5}$ er tangent til kurven med ligningen $f(x)=\ln x.$ .

Jeg bestemmer først f'(x)=1/x. Bestemmer da, i hvilket punkt den differentierede funktion er lig 1/5:

$solve(f'(x)=1/5,x) \Rightarrow x=5.$

Bestemmer da både funktionsværdien for linjen og f(x) i x=5:

$y=\frac{1}{5}\cdot 5+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}=1,6 \quad , \quad f(5)=\ln(5).$

Spørgsmålet er da: Hvordan kan jeg vide, at $\frac{8}{5}\neq ln(5)$ ? Det virker da umuligt, at evaluere dette uden CAS, specielt da ln(5)=1,61 (fundet med CAS) og dermed er utroligt tæt på funktionsværdien for f(5).

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. januar 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textup{Tangent i }(x_o,\ln(x_o))\\& y=\frac{1}{x_o}\cdot (x-x_o)+\ln(x_o)\\\\ \textup{Tangent i }(5,\ln(5))\\& y=\frac{1}{5}\cdot (x-5)+\ln(5)\\\\& y=\frac{1}{5}x+\left ( \ln(5)-1 \right )\\\\& y=\frac{1}{5}x+\left ( \ln(5)-\ln(e) \right )\\\\& y=\frac{1}{5}x+\ln\left ( \frac{5}{e} \right )\\\\& y=\frac{1}{5}x+\ln(\frac{5}{2.7})\approx \frac{1}{5}x+0.59 \end{array}$

Svar #2
08. januar 2021 af qwerty18

Men den eneste grund til, at du ved, at ln(5/2,7)=0.59 er vel fordi du anvender CAS, som ikke er tilladt i opgaven. Eller hvad?

Skriv et svar til: 8/5 = ln(5) uden brug af CAS.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.