Matematik

Funktioner af to variable

12. januar 2021 af DumTilMattt - Niveau: A-niveau

Hej.

Er der nogle der kan hjælpe med disse opgaver? For jeg forstår ikke rigtigt teorien i det.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2021-01-12 kl. 16.18.52.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. januar 2021 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. januar 2021 af Krollo (Slettet)

Hvad mener du med, at du ikke forstår teorien? Ved du, hvad $\frac{\partial }{\partial x}$ og $\frac{\partial }{\partial y}$ betyder? Ved du, hvad et stationært punkt er?

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. januar 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textbf{a)}\\& \begin{array}{llllll} &\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-3y\\\\& \frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-3x\\\\ \textup{Indre station\ae re}\\ \textup{punkter kr\ae ver:}\\& \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-3y=0\quad \wedge \quad \frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-3x=0\\\\\\& \textup{solve}\left ( \left\{\begin{array}{ll}3x^2-3y=0\\&,\left \{ x,y \right \}\\ 3y^2-3x=0 \end{array}\right. \right ) \end{array} \end{array}$

Svar #4
12. januar 2021 af DumTilMattt

#2 Fortstår ikke de tegn der, men dog ved jeg godt hvad stationært punkt er.

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. januar 2021 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textbf{b)}\\& \begin{array}{llllll} &f_{xx}{}''(x_o,y_o)=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=6x_o\\\\&f_{yy}{}''(x_o,y_o)= \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=6y_o\\\\ \end{array} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. januar 2021 af Krollo (Slettet)

Ok.

$\frac{\partial }{\partial x}$ kan også skrives som $f_{x}'(x,y)$ . Det vil sige, at du differentierer funktionen f(x,y) mht. x, og y ses som en konstant.

$\frac{\partial }{\partial y}$ kan også skrives som $f_{y}'(x,y)$ . Det vil sige, at du differentierer funktionen f(x,y) mht. y, og x ses som en konstant.

Har I lært om, hvordan man differentierer $f_{x}'(x,y)$ og $f_{y}'(x,y)$ ?

Svar #7
12. januar 2021 af DumTilMattt

#6 Vi har ikke rigtigt haft om den slags differentielregning.

Svar #8
12. januar 2021 af DumTilMattt

#3 Vil du foreklare lidt, hvad det er at du har gjort der, og hvorfor det eksempelvis er lig med 0?

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. januar 2021 af Krollo (Slettet)

Så burde jeres lærer nok ikke give jer sådan nogle opgaver for...
Det hedder partielt differentiation og $\frac{\partial }{\partial x}$ og $\frac{\partial }{\partial y}$ hedder de partielt afledte.

Her er måden at gøre det på 'manuelt' for $\frac{\partial }{\partial x}$ :

$\frac{\partial }{\partial x}=3x^2-3*1*y+0=3x^2-3y$
Leddet x³ differentieres normalt og bliver til 3x². Leddet -3xy bliver til -3y, eftersom x differentieres til 1, medens y ses som en konstant, der ganges på leddet. Leddet y³ forsvinder, fordi det ses som et konstantled.

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. januar 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{hvis}\\& \begin{array}{lllll} i)&f_{xx}{}''(x_o,y_o)<0 \wedge f_{xx}{}''(x_o,y_o)\cdot f_{yy}{}''(x_o,y_o)-f_{xy}{}''(x_o,y_o)>0\Rightarrow\textup{ lok. max.}\\\\ ii)&f_{xx}{}''(x_o,y_o)>0 \wedge f_{xx}{}''(x_o,y_o)\cdot f_{yy}{}''(x_o,y_o)-f_{xy}{}''(x_o,y_o)>0\Rightarrow\textup{ lok. min.}\\\\ iii)& f_{xx}{}''(x_o,y_o)\cdot f_{yy}{}''(x_o,y_o)-f_{xy}{}''(x_o,y_o)<0\Rightarrow\textup{ saddelpunkt}\\\\ iv)&f_{xx}{}''(x_o,y_o)\cdot f_{yy}{}''(x_o,y_o)-f_{xy}{}''(x_o,y_o)=0\Rightarrow\textup{ intet kan konkluderes} \end{array} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
12. januar 2021 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{llllll} \textbf{b)}\\& \begin{array}{llllll} &f_{xx}{}''(x_o,y_o)=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=6x_o\\\\&f_{yy}{}''(x_o,y_o)= \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=6y_o\\\\ & f_{xy}{}''(x_o,y_o)=-3 \end{array} \end{array}$

Skriv et svar til: Funktioner af to variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.