Matematik

Bestem t, så vinkel er 60

13. januar 2021 af Janne91 - Niveau: A-niveau

Håber i kan hjælpe mig på vej.

Bestem de værdier for t for hvilke vinklen mellem $\underset{a}{\rightarrow}$ og $\underset{b}{\rightarrow}$ er 60 grader.

$\underset{b}{\rightarrow}=\underset{a}{\rightarrow}+t \widehat{a}$

I en tidligere opgave har jeg fundet frem til at $\underset{b}{\rightarrow}=\binom{-7}{-4}$

og $\underset{a}{\rightarrow}=\binom{-3}{2}$

Jeg har prøvet lidt forskelligt, men det er ikke rigtigt :(

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. januar 2021 af Eksperimentalfysikeren

Du kan gå to veje (mindst):

1 Du kan benytte, at

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|cos(v)$

$\widehat{\begin{pmatrix} a_{x}\\ a_{y} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -a_{y} & a_{x} \end{pmatrix}$

Brug det til at opstille en ligning, og løs med hensyn til t. (v = 60º)

Du kan også se det geometrisk: Vinklen 60º er vinklen i en ligesidet trekant. Hvis du tegner en ligesidet trekant med 2*a som grundlinie, vil b blive den ene af de skrå sider og t gange a´s tværvektor bliver højden i trekanten. Så kan du finde t hved hjælp fra Pythagoras.

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. januar 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -2\\-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3+2t\\ 2-3t \end{pmatrix}\\\\ \cos(v)=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left | \overrightarrow{b} \right |}\\\\\\ \cos(60\degree)=\frac{\bigl(\begin{smallmatrix} -3\\2 \end{smallmatrix}\bigr)\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} -3+2t\\2-3t \end{smallmatrix}\bigr)}{\sqrt{(-3)^2+2^2}\cdot \sqrt{\left (-3+2t \right )^2+\left ( 2-3t \right )^2}} \end{array}$

Svar #3
13. januar 2021 af Janne91

Jeg har prøvet nu at definere $\underset{a}{\rightarrow} og \underset{b}{\rightarrow}$ samt $\widehat{a}$

for at løse formlen i wordmat, men det giver ikke de korrekte.

Jeg prøver lige det du skriver mathon

Svar #4
13. januar 2021 af Janne91

Det virker heller ikke. Når jeg skriver dette ind får jeg resultat: $t=-\frac{65*\sqrt{3}-468}{407}\$

Resultatet er $t=1,73$ , $t=\sqrt{3}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. januar 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -2\\-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3+2t\\ 2-3t \end{pmatrix}\\\\ \cos(v)=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left | \overrightarrow{b} \right |}\\\\\\ \cos(60\degree)=\frac{\bigl(\begin{smallmatrix} -3\\2 \end{smallmatrix}\bigr)\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} -3+2t\\2-3t \end{smallmatrix}\bigr)}{\sqrt{(-3)^2+2^2}\cdot \sqrt{\left (-3+2t \right )^2+\left ( 2-3t \right )^2}} \\\\\qquad\qquad \qquad \qquad t=\left\{\begin{matrix} -\sqrt{3}\\ \sqrt{3} \end{matrix}\right. \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. januar 2021 af Eksperimentalfysikeren

Den ligesidede trekant, jeg nævnte, har grundlinielængde 2a. Derfor er længden af b også 2a. Højden rammer grundlinien i midten, så den deler trekanten i to retvinklede trekanter, hvor den vandrette katete har længden a og hypotenusen har længden b=2a. Højden har så længden

$h=\sqrt{(2a)^{2} - a^{2}} = \sqrt{4a^{2}-a^{2}}=\sqrt{3a^{2}}=a\sqrt{3}$

Da er t gange a's tværvektor, er t=kvadratrod 3.

Svar #7
13. januar 2021 af Janne91

Men der skulle jo gerne være to resultater.

Både $t=\sqrt{3}$ samt $t=1,73$

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. januar 2021 af Eksperimentalfysikeren

1,73 er en afrundet værdi af kvadratrod 3.

Svar #9
13. januar 2021 af Janne91

Ja det er selvfølgelig kvadratroden af 3 :')

Nå men jeg bøvler stadig med den. Kan sagtens se logikken i det, men jeg får bare ikke det samme resultat. Kan i se hvad jeg gør forkert?

Jeg vedhæfter en fil hvor i kan se det.

Vedhæftet fil:Bestemmer de værdier af t der danner en vinkel på 60.docx

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. januar 2021 af Eksperimentalfysikeren

Det er din tværvektor, den er gal med. Den skal være:

$\begin{pmatrix} -2\\ -3 \end{pmatrix}$

ikke

$\begin{pmatrix} 2\\ -3 \end{pmatrix}$

Svar #11
13. januar 2021 af Janne91

Arh fedt. Tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: Bestem t, så vinkel er 60

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.