Matematik

Stadionære punkt

18. februar 2021 af ole222 - Niveau: A-niveau

Hej, i denne opgave - b, har jeg udreget mig frem til 5 stadionære punkter. Dog forestår jeg ikke talene i og med mit cas-værktøj siger x=RootOf(_Z^2 - 2)???

Svar #1
18. februar 2021 af ole222

Her er opgaven

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2021-02-18 kl. 13.37.26.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. februar 2021 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. februar 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textbf{a)}\\&f(x,y)=\frac{x\cdot y}{x^2+y^4+1}\\&& f_x{}'\left ( x,y \right )=\frac{-y(x^2-y^4-1)}{(x^2+y^4+1)^2}\qquad f_{xx}{}''(x,y)=\frac{2xy(x^2-3(y^4+1))}{\left (x^2+y^4+1 \right )^3}\\\\\\&& f_y{\, }'(x,y)=\frac{x(x^2-3y^4+1)}{(x^2+y^4+1)^2} \qquad f_{yy}{\, }''(x,y)=\frac{-4xy^3(5x^2-3y^4+5)}{\left (x^2+y^4+1 \right )^3}\\\\\\&& f_{xy}{\, }''(x,y)=\frac{-(x^4-12x^2y^4+(y^4+1)(3y^4-1))}{\left (x^2+y^4+1 \right )^3} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. februar 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{Station\ae re}\\ \textup{punkter beregnes:}\\& \textup{solve}\left ( f_x{\, }' (x,y)=0\textup{ and }f_y{\, }'(x,y)=0,\left \{ x,y \right \}\right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. februar 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}\textbf{b)}\\& \textup{Station\ae re}\\& \textup{punkter:}\\&& (-\sqrt{2},-1)\qquad \left (-\sqrt{2},1 \right )\qquad \left (0,0 \right )\qquad \left (\sqrt{2},1 \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. februar 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll}\textbf{c)}\\& \textup{Punkt:}\qquad (-\sqrt{2},-1)\\\\& f_{xx}{}'(-\sqrt{2},-1)\cdot f_{yy}{}'(-\sqrt{2},-1)-f_{xy}{}'(-\sqrt{2},-1)^2=\frac{1}{8}>0\\\\& f_{xx}{}''(-\sqrt{2},-1)=-\frac{\sqrt{2}}{8}<0\\\\&\textbf{konklusion:}\quad \left ( -\sqrt{2},-1 \right )\textup{ er et lokalt maksimumspunkt}\\\\\\\\& \textup{Punkt:}\qquad (-\sqrt{2},1)\\\\& f_{xx}{}'(-\sqrt{2},1)\cdot f_{yy}{}'(-\sqrt{2},1)-f_{xy}{}'(-\sqrt{2},1)^2=\frac{1}{8}>0\\\\& f_{xx}{}''(-\sqrt{2},1)=\frac{\sqrt{2}}{8}>0\\\\&\textbf{konklusion:}\quad \left (- \sqrt{2},1 \right )\textup{ er et lokalt minimumspunkt} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. februar 2021 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllll}\textbf{c)}\\& \textup{Punkt:}\qquad (0,0)\\\\& f_{xx}{}''(0,0)\cdot f_{yy}{}''(0,0)-f_{xy}{}''(0,0)^2=-1<0\\\\&\textbf{konklusion:}\quad \left ( 0,0 \right )\textup{ er et saddelpunkt}\\\\\\\\& \textup{Punkt:}\qquad (\sqrt{2},-1)\\\\& f_{xx}{}'(\sqrt{2},-1)\cdot f_{yy}{}'(\sqrt{2},-1)-f_{xy}{}'(\sqrt{2},-1)^2=\frac{1}{8}>0\\\\& f_{xx}{}''(-\sqrt{2},1)=\frac{\sqrt{2}}{8}>0\\\\&\textbf{konklusion:}\quad \left (- \sqrt{2},1 \right )\textup{ er et lokalt minimumspunkt} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. februar 2021 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{lllll}\textbf{c)}\\& \textup{Punkt:}\qquad (\sqrt{2},1)\\\\& f_{xx}{}''(\sqrt{2},1)\cdot f_{yy}{}''(\sqrt{2},1)-f_{xy}{}''(\sqrt{2},1)^2=\frac{1}{8}>0\\\\& f_{xx}{}''(\sqrt{2},1)=-\frac{\sqrt{2}}{8}<0\\\\&\textbf{konklusion:}\quad \left ( \sqrt{2},1 \right )\textup{ er et lokalt maksimumspunkt} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. februar 2021 af mathon

Tastefejl:
Notationerne:
$\small f_{xx}{}'(x,y)\quad f_{yy}{}'(x,y)\quad f_{xy}{}'(x,y)\;\xrightarrow[\textup{naturligvis til}]{\textup{korrigeres}}\;f_{xx}{}''(x,y)\quad f_{yy}{}''(x,y)\quad f_{xy}{}''(x,y)$

Brugbart svar (0)

Svar #10
19. februar 2021 af mathon

korrektion
af forglemmelse:

$\small \small \begin{array}{lllll}\textbf{b)}\\& \textup{Station\ae re}\\& \textup{punkter:}\\&& (-\sqrt{2},-1)\qquad \left (-\sqrt{2},1 \right )\qquad \left (0,0 \right )\qquad \left (\sqrt{2},-1 \right )\qquad \left ( \sqrt{2},1 \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
19. februar 2021 af mathon

korrektion i #7's 6. linje:
$\small \small \begin{array}{lllll} f_{xx}{}''(-\sqrt{2},1)=\frac{\sqrt{2}}{8}>0\;\xrightarrow[\textup{til}]{\textup{fortegnkorrigeres}}\;f_{xx}{}''(\sqrt{2},-1)=\frac{\sqrt{2}}{8}>0 \end{array}$

Skriv et svar til: Stadionære punkt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.