Matematik

Stadionære punkt

18. februar kl. 13:39 af ole222 - Niveau: A-niveau

Hej, i denne opgave - b, har jeg udreget mig frem til 5 stadionære punkter. Dog forestår jeg ikke talene i og med mit cas-værktøj siger x=RootOf(_Z^2 - 2)???


Svar #1
18. februar kl. 13:39 af ole222

Her er opgaven


Brugbart svar (0)

Svar #2
18. februar kl. 13:41 af mathon


Brugbart svar (0)

Svar #3
18. februar kl. 14:19 af mathon

\small \begin{array}{lllll} \textbf{a)}\\&f(x,y)=\frac{x\cdot y}{x^2+y^4+1}\\&& f_x{}'\left ( x,y \right )=\frac{-y(x^2-y^4-1)}{(x^2+y^4+1)^2}\qquad f_{xx}{}''(x,y)=\frac{2xy(x^2-3(y^4+1))}{\left (x^2+y^4+1 \right )^3}\\\\\\&& f_y{\, }'(x,y)=\frac{x(x^2-3y^4+1)}{(x^2+y^4+1)^2} \qquad f_{yy}{\, }''(x,y)=\frac{-4xy^3(5x^2-3y^4+5)}{\left (x^2+y^4+1 \right )^3}\\\\\\&& f_{xy}{\, }''(x,y)=\frac{-(x^4-12x^2y^4+(y^4+1)(3y^4-1))}{\left (x^2+y^4+1 \right )^3} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #4
18. februar kl. 14:35 af mathon

\small \begin{array}{lllll} \textup{Station\ae re}\\ \textup{punkter beregnes:}\\& \textup{solve}\left ( f_x{\, }' (x,y)=0\textup{ and }f_y{\, }'(x,y)=0,\left \{ x,y \right \}\right ) \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
19. februar kl. 10:27 af mathon

\small \begin{array}{lllll}\textbf{b)}\\& \textup{Station\ae re}\\& \textup{punkter:}\\&& (-\sqrt{2},-1)\qquad \left (-\sqrt{2},1 \right )\qquad \left (0,0 \right )\qquad \left (\sqrt{2},1 \right ) \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
19. februar kl. 10:45 af mathon

\small \small \begin{array}{lllll}\textbf{c)}\\& \textup{Punkt:}\qquad (-\sqrt{2},-1)\\\\& f_{xx}{}'(-\sqrt{2},-1)\cdot f_{yy}{}'(-\sqrt{2},-1)-f_{xy}{}'(-\sqrt{2},-1)^2=\frac{1}{8}>0\\\\& f_{xx}{}''(-\sqrt{2},-1)=-\frac{\sqrt{2}}{8}<0\\\\&\textbf{konklusion:}\quad \left ( -\sqrt{2},-1 \right )\textup{ er et lokalt maksimumspunkt}\\\\\\\\& \textup{Punkt:}\qquad (-\sqrt{2},1)\\\\& f_{xx}{}'(-\sqrt{2},1)\cdot f_{yy}{}'(-\sqrt{2},1)-f_{xy}{}'(-\sqrt{2},1)^2=\frac{1}{8}>0\\\\& f_{xx}{}''(-\sqrt{2},1)=\frac{\sqrt{2}}{8}>0\\\\&\textbf{konklusion:}\quad \left (- \sqrt{2},1 \right )\textup{ er et lokalt minimumspunkt} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #7
19. februar kl. 10:47 af mathon

\small \small \small \begin{array}{lllll}\textbf{c)}\\& \textup{Punkt:}\qquad (0,0)\\\\& f_{xx}{}''(0,0)\cdot f_{yy}{}''(0,0)-f_{xy}{}''(0,0)^2=-1<0\\\\&\textbf{konklusion:}\quad \left ( 0,0 \right )\textup{ er et saddelpunkt}\\\\\\\\& \textup{Punkt:}\qquad (\sqrt{2},-1)\\\\& f_{xx}{}'(\sqrt{2},-1)\cdot f_{yy}{}'(\sqrt{2},-1)-f_{xy}{}'(\sqrt{2},-1)^2=\frac{1}{8}>0\\\\& f_{xx}{}''(-\sqrt{2},1)=\frac{\sqrt{2}}{8}>0\\\\&\textbf{konklusion:}\quad \left (- \sqrt{2},1 \right )\textup{ er et lokalt minimumspunkt} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #8
19. februar kl. 11:01 af mathon

\small \small \small \small \begin{array}{lllll}\textbf{c)}\\& \textup{Punkt:}\qquad (\sqrt{2},1)\\\\& f_{xx}{}''(\sqrt{2},1)\cdot f_{yy}{}''(\sqrt{2},1)-f_{xy}{}''(\sqrt{2},1)^2=\frac{1}{8}>0\\\\& f_{xx}{}''(\sqrt{2},1)=-\frac{\sqrt{2}}{8}<0\\\\&\textbf{konklusion:}\quad \left ( \sqrt{2},1 \right )\textup{ er et lokalt maksimumspunkt} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #9
19. februar kl. 11:07 af mathon

Tastefejl:
      Notationerne:
                                   \small f_{xx}{}'(x,y)\quad f_{yy}{}'(x,y)\quad f_{xy}{}'(x,y)\;\xrightarrow[\textup{naturligvis til}]{\textup{korrigeres}}\;f_{xx}{}''(x,y)\quad f_{yy}{}''(x,y)\quad f_{xy}{}''(x,y)


Brugbart svar (0)

Svar #10
19. februar kl. 11:43 af mathon

korrektion 
af forglemmelse:

\small \small \begin{array}{lllll}\textbf{b)}\\& \textup{Station\ae re}\\& \textup{punkter:}\\&& (-\sqrt{2},-1)\qquad \left (-\sqrt{2},1 \right )\qquad \left (0,0 \right )\qquad \left (\sqrt{2},-1 \right )\qquad \left ( \sqrt{2},1 \right ) \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #11
19. februar kl. 12:15 af mathon

korrektion i #7's 6. linje:
                                         \small \small \begin{array}{lllll} f_{xx}{}''(-\sqrt{2},1)=\frac{\sqrt{2}}{8}>0\;\xrightarrow[\textup{til}]{\textup{fortegnkorrigeres}}\;f_{xx}{}''(\sqrt{2},-1)=\frac{\sqrt{2}}{8}>0 \end{array}


Skriv et svar til: Stadionære punkt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.