Matematik

Bestem projektionen af punktet A(7,20)på linjen l

12. marts 2021 af lol28 - Niveau: A-niveau

Nogle som kan hjælpe med denne opgave? Min bog oplyser ikke en god metode.

Har allerede fundet parameterfrestillingen og dens x og y - koordinater, men ved ikke om dette er brug bart:)

En linje gå gennem punktet P(2,5) og har (Vektor)n=[-1, 3] som normal vektor.

a) Bestem projektionen af punktet A(7,20)på linjen l

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. marts 2021 af peter lind

Du kan bruge din parameterframstilling. Brug formel 67 side 13 i din formelsamling til at finde ligningen for linjen gennem A. med vektor n som retningsvektor eller også kan du finde dens parameterfremstilling. De to linjer skærer hinanden i de søgte punkt

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. marts 2021 af mathon

En linje går gennem punktet P(2,5) og har vektor n = [-1, 3] som normalvektor.

Linjens ligning
er:
$\small \normal \begin{bmatrix} -1\\3 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x-2\\y-5 \end{bmatrix}=0\\\\$

$\small \begin{array}{lllll} -x+2+3y-15=0\\\\ -x+3y=13 \end{array}$

Projektionslinjen gennem A(7,20) vinkelret derpå
har normalvektor

$\small \begin{array}{lllll} -\widehat{\begin{bmatrix} -1\\3 \end{bmatrix}}=-\begin{bmatrix} -3\\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix} \end{array}$
og ligningen
$\small \begin{array}{lllll} \begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x-7\\y-20 \end{bmatrix}=0\\\\ 3x-21+y-20=0\\\\ 3x+y=41 \end{array}$

Linjernes skæringspunkt
er projektionspunktet:

$\small \begin{array}{lllll} \textup{solve}\left (-x+3y=13\textup{ and }3x+y=41,\left \{ x,y \right \} \right ) \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
13. marts 2021 af mathon

eller
En linje går gennem punktet P(2,5) og har vektor n = [-1, 3] som normalvektor
og dermed
retningsvektor $\small \overrightarrow{r}=-\widehat{\begin{bmatrix} -1\\3 \end{bmatrix}}=-\begin{bmatrix} -3\\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix}$
og dermed
parameterfremstillingen:
$\small \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\5 \end{bmatrix}+s\cdot \begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix}\qquad s\in\mathbb{R}$

Projektionslinjen gennem A(7,20) har retningsvektor [-1,3]

og dermed
parameterfremstillingen:
$\small \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7\\20 \end{bmatrix}+t\cdot \begin{bmatrix} -1\\3 \end{bmatrix}\qquad t\in\mathbb{R}$

Projektionspunktet er parameterfremstillingernes fællespunkt:

$\small \textup{solve}\left (2+3s=7-t\textup{ and } 5+s=20+3t,\left \{ s,t \right \} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. marts 2021 af mathon

eller
En linje går gennem punktet P(2,5) og har vektor n = [-1, 3] som normalvektor
og dermed retningsvektor
$\small \overrightarrow{r}=-\left [ -3,-1 \right ]=\left [ 3,1 \right ]=3\cdot \left [ 1,\tfrac{1}{3} \right ]$

dvs med hældningskoefficient $\small \tfrac{1}{3}$
og ligningen
$\small \small \small \small \begin{array}{lllll}& 5=\tfrac{1}{3}\cdot 2+b\\\\& b=\frac{15-2}{3}=\frac{13}{3}\\\\& y=\tfrac{1}{3}x+\frac{13}{3}\\\\\\ \textup{Projektionslinjen}\\ \textup{gennem }A(7,20)\\ \textup{er ortogonal herp\aa }\\ \textup{dvs med h\ae ldnings-}\\ \textup{koefficient }-3\textup{:}\\& 20=-3\cdot 7+b\\\\& b=41\\ \textup{og ligningen:}\\&y=-3x+41\\\\ \textup{Sk\ae rings-}\\ \textup{punktet er}\\ \textup{projektionspunktet:}\\& \textup{solve}\left (y=\tfrac{1}{3}x+\frac{13}{3}\textup{ and } y=-3x+41,\left \{ x,y \right \} \right ) \end{array}$

Skriv et svar til: Bestem projektionen af punktet A(7,20)på linjen l

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.