Matematik

Stationære punkter

13. marts 2021 af Janne91 - Niveau: A-niveau

Jeg har en opgave der driller. Jeg skal bestemme de stationære punkter for en funktion. Funktionen er i en brøk. Når jeg beder Wordmat om at udregne de partielt afledte, bliver det nogle meget lange brøker.

Skal jeg gøre noget anderledes når det er en brøk?

Jeg har vedhæftet opgaven :)

Vedhæftet fil: stationære.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. marts 2021 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. marts 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textbf{Opgave 8}\\& \textbf{1.}\\&& f_x{}'(x,y)=\frac{-4\left ( x^2-y^2-1 \right )}{(x^2+y^2+1)^2}\\\\&& f_y{}'(x,y)=\frac{-8\cdot x\cdot y }{(x^2+y^2+1)^2} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. marts 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textbf{Opgave 8}\\& \textbf{1.}\\&&& f_x{}'(x,y)=\frac{-4\left ( x^2-y^2-1 \right )}{(x^2+y^2+1)^2}\\\\&&& f_y{}'(x,y)=\frac{-8\cdot x\cdot y }{(x^2+y^2+1)^2} \\\\&& \textup{Station\ae re punkter}\\&& \textup{kr\ae ver:}\\\\&&& \textup{solve}\left (\frac{-4\left ( x^2-y^2-1 \right )}{(x^2+y^2+1)^2}=0\textup{ and } \frac{-8\cdot x\cdot y }{(x^2+y^2+1)^2}=0,\left \{ x,y \right \} \right ) \end{array}$

Svar #4
13. marts 2021 af Janne91

Wordmat udregner det gennem en længere brøk.

Vil du tjekke at det er rigtigt udregnet når ligningerne løses? Jeg har vedhæftet billede.

Redigeret: Det kunne jeg selvfølgelig selv ud fra det du havde skrevet og det giver samme resultat :) Tak!

Vedhæftet fil:partielt af.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. marts 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textbf{Opgave 8}\\& \textbf{1.}\\&&\textup{Station\ae re punkter}\\&& \textup{kr\ae ver:}\\\\&&& \textup{solve}\left (\frac{-4\left ( x^2-y^2-1 \right )}{(x^2+y^2+1)^2}=0\textup{ and } \frac{-8\cdot x\cdot y }{(x^2+y^2+1)^2}=0,\left \{ x,y \right \} \right ) \\\\&&& (-1,0)\textup{ og }(1,0) \end{array}$

Svar #6
13. marts 2021 af Janne91

Når jeg udregner det giver det som du kan se -y^2+1^0,5. og y^2+1^0,5

Kan jeg få den til at regne det korrekt, eller ser jeg bare bort fra y værdien og udregner 1^0,5 og -1^0,5 og så får jeg -1 og 1??

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. marts 2021 af mathon

Du kan selvfølgelig ikke se bort fra y-koordinaten.

Svar #8
13. marts 2021 af Janne91

hvordan kommer du så frem til at koordinatet for x er 1 og -1? Altså jeg er med på at koordinatet for y som er 0 selvfølgelig skal med. Det var mere i resultatet for x koordinatet jeg tænkte på.

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. marts 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textbf{Til typebestemmelse:}\\& f_{xx}{}''(x,y)=\frac{8x(x^2-3y^2-3)}{\left (x^2+y^2+1 \right )^3}\\\\& f_{yy}{}''(x,y)=\frac{-8x\left ( x^2-3y^2+1 \right )}{\left (x^2+y^2+1 \right )^3}\\\\& f_{xy}{}''(x,y)=\frac{8y\cdot (3x^2-y^2-1)}{\left (x^2+y^2+1 \right )^3} \end{array}$

Svar #10
13. marts 2021 af Janne91

Jeg er også med på hvordan jeg bestemmer typen. Men problemet er igen at wordmat udregner på en helt tosset måde som jeg ikke kan bruge :(

Hvad skal jeg gøre?

Jeg har prøvet indstillingen automatisk, eksamt og nummerisk. Samme resultat hver gang :(

Vedhæftet fil:stationær punkter.png

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. marts 2021 af Soeffi

#0.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2021-03-13 kl. 22.35.44.png

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. marts 2021 af mathon

De "lange" brøker er fordi, nævnerne er udtryk i led.

Brugbart svar (0)

Svar #13
14. marts 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \mathbf{\left ( -1,0 \right )}\textbf{:}\\\\& f_{xx}{}''\left ( -1,0 \right )\cdot f_{yy}{}''\left ( -1,0 \right )-\left (f_{xy}{}''\left ( -1,0 \right ) \right )^2=4>0\\\\& f_{xx}{}''\left ( -1,0 \right )=2>0\qquad \Leftrightarrow \qquad \left ( -1,0 \right ) \textup{ er minimumspunkt}\\\\\\ \mathbf{\left (1,0 \right )}\textbf{:}\\\\& f_{xx}{}''\left ( 1,0 \right )\cdot f_{yy}{}''\left ( 1,0 \right )-\left (f_{xy}{}''\left ( 1,0 \right ) \right )^2=4>0\\\\& f_{xx}{}''\left ( 1,0 \right )=-2<0\qquad \Leftrightarrow \qquad \left ( 1,0 \right ) \textup{ er maksimumspunkt}\\\\\\ \end{array}$

I overen(s)stemmelse med #11.

Svar #14
14. marts 2021 af Janne91

Men kan jeg skrive funktionen op anderledes eller hvad skal jeg så gøre?

Når jeg udregner r, s og t bliver det jo også nogle lange brøkere. og når jeg udregner r*s-t^2 bliver det også en lang brøker hvor jeg ikke kan konkludere hvad resultat er :(

Svar #15
14. marts 2021 af Janne91

Jeg kan sagtens se ud fra konstruktionen at det er et minimums og et maksimumspunkt. Men jeg skulle jo gerne kunne udregne det selv. Også hvis nu jeg oplever noget ligende til eksamen.

Brugbart svar (0)

Svar #16
15. marts 2021 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #17
15. marts 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} \mathbf{\left ( -1,0 \right )}\textbf{:}\\\\&\overset{\mathbf{{\color{Red} r}}}{\overbrace{ f_{xx}{}''\left ( -1,0 \right )}}\cdot \overset{\mathbf{{\color{Red} s}}}{\overbrace{f_{yy}{}''\left ( -1,0 \right )}}-\overset{\mathbf{{\color{Red} t^2}}}{\overbrace{\left (f_{xy}{}''\left ( -1,0 \right ) \right )^2}}=4>0\\\\& f_{xx}{}''\left ( -1,0 \right )=2>0\qquad \Leftrightarrow \qquad \left ( -1,0 \right ) \textup{ er minimumspunkt}\\\\\\ \mathbf{\left (1,0 \right )}\textbf{:}\\\\& f_{xx}{}''\left ( 1,0 \right )\cdot f_{yy}{}''\left ( 1,0 \right )-\left (f_{xy}{}''\left ( 1,0 \right ) \right )^2=4>0\\\\& f_{xx}{}''\left ( 1,0 \right )=-2<0\qquad \Leftrightarrow \qquad \left ( 1,0 \right ) \textup{ er maksimumspunkt}\\\\\\ \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #18
16. marts 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textbf{BEM\AE RK}\\& FS\textup{ benytter:}\\&& f_{xx}{}''(x_o \,,y_o)=r\\\\&& f_{xy}{}''(x_o\,,y_o)=s\\\\&& f_{yy}{}''(x_o \,,y_o)=t \end{array}$

Skriv et svar til: Stationære punkter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.