Matematik

Funktion af to variable

21. april kl. 19:27 af Yaxion - Niveau: A-niveau

Jeg bliver stillet opgaven:

-----------------------------------------------------------------------------------------------

En funktion f af to variable er bestemt ved

f(x,y)=x^3 - 3x*y+y^3

a) Bestem  \frac{\partial f}{\partial x}  og  \frac{\partial f}{\partial y}

Det oplyses, at grafen for f har netop to stationære punkter

b) Bestem arten af hvert af de to stationære punkter.

---------------------------------------------------------------------------------------------

Jeg forstår ikke helt hvad \partial betyder eller hvordan jeg skal finde det..


Brugbart svar (1)

Svar #1
21. april kl. 19:39 af mathon

                     \small \small \begin{array}{lllll}&& \frac{\partial f }{\partial x}=f_x{ }'(x,y)&\textup{den delafledede af f mht }x\\\\&& \frac{\partial f }{\partial y}=f_y{ }'(x,y)&\textup{den delafledede af f mht }y \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #2
21. april kl. 19:44 af StoreNord

\frac{\partial f}{\partial x}     er den afledte med hensyn til x. 


Brugbart svar (1)

Svar #3
21. april kl. 20:10 af mathon

\small \small \begin{array}{llllll}&& \frac{\partial }{\partial x}(f(x,y))=3x^2-3y\\\\&& \frac{\partial }{\partial y}(f(x,y))=-3x+3y^2\\\\& \textup{station\ae re punkter}\\& \textup{kr\ae ver:}\\&& \begin{matrix} 3x^2-3y=0\\ -3x+3y^2=0 \end{matrix}\\& \textup{dvs}\\&& P_1=(0,0)\textup{ og }P_2=(1,1)\\\\\\&& \frac{\partial^2 }{\partial x^2}(f(x,y))=6x\\\\&& \frac{\partial^2 }{\partial x^2}(f(0,0))=0=r\\\\\\&&\frac{\partial^2 }{\partial y^2}(f(x,y))=6y\\\\&& \frac{\partial^2 }{\partial y^2}(f(0,0))=0=t\\\\\\&& \frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial }{\partial x}(f(x,y)) \right )=-3\\\\&& \frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial }{\partial x}(f(0,0)) \right )=-3=s\\\\\\&& r\cdot t-s^2=0\cdot 0-(-3)^2<0\quad P_1(0,0)\textup{ er saddelpunkt} \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #4
21. april kl. 20:19 af mathon

                                          \small \small \small \small \begin{array}{llllll}&& \frac{\partial^2 }{\partial x^2}(f(x,y))=6x\\\\&& \frac{\partial^2 }{\partial x^2}(f(1,1))=6=r\\\\\\&&\frac{\partial^2 }{\partial y^2}(f(x,y))=6y\\\\&& \frac{\partial^2 }{\partial y^2}(f(1,1))=6=t\\\\\\&& \frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial }{\partial x}(f(x,y)) \right )=-3\\\\&& \frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial }{\partial x}(f(1,1)) \right )=-3=s\\\\\\&& r \cdot t-s^2=6\cdot 6-(-3)^2>0\\\\&& r>0\qquad P_2(1,1) \textup{ er et lokalt minimumspunkt} \end{array}


Svar #5
21. april kl. 22:19 af Yaxion

#4

                                          \small \small \small \small \begin{array}{llllll}&& \frac{\partial^2 }{\partial x^2}(f(x,y))=6x\\\\&& \frac{\partial^2 }{\partial x^2}(f(1,1))=6=r\\\\\\&&\frac{\partial^2 }{\partial y^2}(f(x,y))=6y\\\\&& \frac{\partial^2 }{\partial y^2}(f(1,1))=6=t\\\\\\&& \frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial }{\partial x}(f(x,y)) \right )=-3\\\\&& \frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial }{\partial x}(f(1,1)) \right )=-3=s\\\\\\&& r \cdot t-s^2=6\cdot 6-(-3)^2>0\\\\&& r>0\qquad P_2(1,1) \textup{ er et lokalt minimumspunkt} \end{array}

Hvordan får du f''(1,1) til at give 6? For mig giver det bare 0..


Skriv et svar til: Funktion af to variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.