Matematik

Bestemmelse af diskriminant for homogen andengrads differentialligning

02. juni kl. 17:28 af Regndyr - Niveau: Universitet/Videregående

Hej.

Jeg bøvler lidt med at bestemme en diskriminant og rødderne ud fra følgende differentialligning, som jeg har vedhæftet. Håber en venlig sjæl vil hjælpe!


Brugbart svar (0)

Svar #1
02. juni kl. 17:31 af AskTheAfghan

Jeg går her ud fra, at m, c og k er reelle tal. Det karakteristiske polynomium p er givet ved p(λ) = mλ2 + 2cλ + k. Diskriminanten er D := (2c)2 - 4ak = 4(c2 - ak). Polynomiet p har reelle rødder hvis c2 > ak, har én reel rod hvis c2 = ak, og har komplekse rødder hvis c2 < ak.


Brugbart svar (1)

Svar #2
02. juni kl. 17:34 af BirgerBrosa

Karakterligningen:

Diskriminanten:


Svar #3
02. juni kl. 17:52 af Regndyr

Tusind tak for svar, men jeg tror jeg fik stillet det lidt forkert - Det var nærmere hen imod ligende jeg gik efter. Altså hvis man bare antager at D<0, og man skal have sat i komplekse rødder og tal, hvordan det forløber med  dette forslag (Ikke det på disse billeder) 


Svar #4
02. juni kl. 17:52 af Regndyr

.


Brugbart svar (0)

Svar #5
02. juni kl. 20:41 af BirgerBrosa

Altså, du leder efter løsningerne til differentialligningen i tilfældet med et underdæmpet system? Jeg er ikke helt med på hvad du søger.


Svar #6
03. juni kl. 12:11 af Regndyr

Yes, det er præcis det jeg leder efter. 


Brugbart svar (1)

Svar #7
03. juni kl. 13:13 af BirgerBrosa

Jeg gennemgår lige matematikken, og så må du sige til hvis der er noget som mangler. Vi kigger på den homogene differentialligning af anden orden på standardform.

Kald og . kaldes for dæmpningskoefficienten og  kaldes for den udæmpede resonansfrekvens. Karakterligningen ser nu sådan her ud:

Denne har løsningerne (rødderne)

I det underdæmpede tilfælde, dvs. hvor så er løsningen til differentialligningen:

 Vi definerer en ny størrelse, dæmpningsfaktoren  og ser ved symmetrien at når er systemet overdæmpet, og rødderne i karakterligningen er reelle og forskellige.

Når  er systemet kritisk dæmpet, og karakterligningen har en dobbeltrod.

Når  er systemet underdæmpet, og rødderne i karakterligningen er et komplekst konjugeret par.

Vi kan endvidere skrive differentialligningen på formen

Og endeligt kan den dæmpede frekvens defineres som kan erstatte ledende inde i cosinus og sinusfunktionerne i løsningen.


Svar #8
10. juni kl. 09:40 af Regndyr

Hej igen! 

Jeg tror stadigvæk at jeg bøvler med at få lavet en løsning til denne differentialligning. Har du måske mod på at hjælpe? 

Jeg tror den er gået galt, når jeg har fået mit udtryk for min c. 


Brugbart svar (0)

Svar #9
10. juni kl. 15:22 af BirgerBrosa

Din andengradsligning er forkert. Det skal være 2*zeta*omega_0*y, men du har skrevet zeta*omega_0*y.


Brugbart svar (0)

Svar #10
10. juni kl. 17:47 af BirgerBrosa

Det her skulle hjælpe dig en del.


Skriv et svar til: Bestemmelse af diskriminant for homogen andengrads differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.