Matematik

Henfald af det radioaktive stof plutonium, Vejen til Matematik B2, Opgave 156, Side 161, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

09. juli 2021 af ca10 - Niveau: B-niveau

En model for henfaldet af det radioaktive stof plutonium, der opbygges i atomkraftværker er:

f(t) = 1000 * 0,9178^t

Her er t tiden i 1000 år og f(t) er massen af plutonium i gram

a) Hvor meget plutonium er der tilbage efter 12000 år ?

Min løsning:

f(12000/1000) = 1000 * 0,9178^(12000/1000) = 357,25362 gram = 357 gram

Det samme som bogens facit side 222.

b) Angiv en forskrift for den hastighed, hvormed plutonium omsættes ?

Min løsning:

Differentiere f(t) således

f '(t) = 1000 * ln(0,9718) * 0,9178^t = - 85,77 * 0,9178^t = - 85,8 * 0,9178^t

(Det samme som bogens facit side 222)

Min fortolkning og som ikke er en del af opgaven er følgende:

Da f '(t) < 0 så er f(t) aftagende. For hver 1000 år er der færre gram tilbage af det radioaktive stof plutonium og f '(t) = -85,5 * 0,9178^t er den hastighed hvormed antallet gram der omsættes pr 1000 år.

c) Hvor mange gram plutonium pr.1000 år omsættes i begyndelsen og efter 20000 år

Så ville det være naturligt når man i b) skulle bestemme en forskrift for den hastighed, hvormed plutonium omsættes så at indsætte t =1000 år og t = 20000 år i forskriften, men det giver et forkert resultat

Bogens facit er 85,5 g / 1000 år og 15,4 g / 1000 år

Mit spørgsmål er hvordan man kommer frem til resultat

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. juli 2021 af peter lind

Plutomiet henfalder undervejs så det korrekte må være

f(0) - f(1)

f(20)-f(21)

Brugbart svar (1)

Svar #2
09. juli 2021 af ringstedLC

"begyndelsen" er til tiden t = 0/1000:

$\begin{align*} \textup{Omsat m\ae ngde}:\left |f'(0/1000) \right | &= \left |-85.5\cdot 0.9178^{\,0/1000} \right |=85.5\,(\textup{g/1000\,\aa r}) \\ \textup{Omsat m\ae ngde}:\left |f'(20000/1000) \right | &= \left |-85.5\cdot 0.9178^{\,20000/1000} \right |=\;?\,(\textup{g/1000\,\aa r}) \end{align*}$

Din fortolkning er iøvrigt helt rigtig, da "henfald" er en aftagende mængde. Desuden er fremskrivningsfaktoren a = 0.9178 < 1 ⇒ f er en aftagende funktion ⇒ f ' < 0.

Svar #3
09. juli 2021 af ca10

Jeg forstår svaret

Den numeriske værdi af f ' (0/1000) = -85,5 * 0,9178^0/1000 = 85,5 (g/1000 år)

Den numeriske værdi af f ' (20000/1000) = -85,5 * ,09178^20000/1000 = 15,4 (g/1000år)

Jeg havde gjort det samme men havde ikke set at der skulle anvende den begrebet numerisk værdi af et tal

Den numeriske værdi af et tal t betyder at to modsatte tal har samme numeriske værdi således

f.eks - 5 og 5 tilægges samme numerisk 5

Dette har jeg slået op hos Kristensen og Rindung 1 For 1. G

Tak for svaret

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. juli 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textup{S\ae dvanligvis}\\ \textup{beskrives henfaldet:}\\& N(t)= &N_0\cdot e^{-kt}=N_0\cdot a^t\qquad a,k>0\\\\ \textup{\textbf{Selve} den }\\ \textup{henfaldne m\ae ngde:}\\& f(t)=&N_0-N(t)=N_0\left ( 1-a^t \right )\\\\ \textup{Henfaldshastigheden:}\\& v(t)=&f{\, }'(t)=N_0\cdot \left ( 0-\ln(a)\cdot a^t \right )\\\\\\ \textup{i anvendelse:}\\& v(t)=&f{\, }'(t)=1000\cdot \left ( 0-\ln(0.9178)\cdot 0.9178^t \right )=\\\\&& 1000\cdot \left ( -\left ( -0.08578 \right ) \right )\cdot 0.9178^t=\\\\&& 85.78\cdot 0.9178^t \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
10. juli 2021 af mathon

mindre korrektion:

$\small \small \begin{array}{llllll} \textup{S\ae dvanligvis}\\ \textup{beskrives henfaldet:}\\& N(t)= &N_0\cdot e^{-kt}=N_0\cdot a^t\qquad 0<a<1,k>0\\\\ \textup{\textbf{Selve} den }\\ \textup{henfaldne m\ae ngde:}\\& f(t)=&N_0-N(t)=N_0\left ( 1-a^t \right )\\\\ \textup{Henfaldshastigheden:}\\& v(t)=&f{\, }'(t)=N_0\cdot \left ( 0-\ln(a)\cdot a^t \right )\\\\\\ \textup{i anvendelse:}\\& v(t)=&f{\, }'(t)=1000\cdot \left ( 0-\ln(0.9178)\cdot 0.9178^t \right )=\\\\&& 1000\cdot \left ( -\left ( -0.08578 \right ) \right )\cdot 0.9178^t=\\\\&& 85.78\cdot 0.9178^t \end{array}$

Svar #6
11. juli 2021 af ca10

Tak for svaret

Skriv et svar til: Henfald af det radioaktive stof plutonium, Vejen til Matematik B2, Opgave 156, Side 161, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.