Matematik

Henfald af det radioaktive stof plutonium, Vejen til Matematik B2, Opgave 156, Side 161, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

09. juli kl. 15:02 af ca10 - Niveau: B-niveau

En model for henfaldet af det radioaktive stof plutonium, der opbygges i atomkraftværker er:

   f(t) = 1000 * 0,9178t

Her er t tiden i 1000 år og f(t) er massen af plutonium i gram

a) Hvor meget plutonium er der tilbage efter 12000 år ?

Min løsning:

  f(12000/1000) = 1000 * 0,9178(12000/1000) = 357,25362 gram = 357 gram 

Det samme som bogens facit side 222.

b) Angiv en forskrift for den hastighed, hvormed plutonium omsættes ?

Min løsning:

Differentiere f(t) således

 f '(t) = 1000 * ln(0,9718) * 0,9178t = - 85,77 * 0,9178t = - 85,8 * 0,9178t 

(Det samme som bogens facit side 222)

Min fortolkning og som ikke er en del af opgaven er følgende:

Da f '(t) < 0 så er f(t) aftagende. For hver 1000 år er der færre gram tilbage af det radioaktive stof plutonium og f '(t) = -85,5 * 0,9178t er den hastighed hvormed antallet gram der omsættes pr 1000 år.

c) Hvor mange gram plutonium pr.1000 år omsættes i begyndelsen og efter 20000 år

Så ville det være naturligt når man i b) skulle bestemme en forskrift for den hastighed, hvormed plutonium omsættes så at indsætte t  =1000 år og t = 20000 år i forskriften, men det giver et forkert resultat

Bogens facit er 85,5 g / 1000 år og 15,4 g / 1000 år

Mit spørgsmål er hvordan man kommer frem til resultat


Brugbart svar (0)

Svar #1
09. juli kl. 15:56 af peter lind

Plutomiet henfalder undervejs så det korrekte må være

f(0) - f(1)

f(20)-f(21)


Brugbart svar (1)

Svar #2
09. juli kl. 15:57 af ringstedLC

"begyndelsen" er til tiden t = 0/1000:

\begin{align*} \textup{Omsat m\ae ngde}:\left |f'(0/1000) \right | &= \left |-85.5\cdot 0.9178^{\,0/1000} \right |=85.5\,(\textup{g/1000\,\aa r}) \\ \textup{Omsat m\ae ngde}:\left |f'(20000/1000) \right | &= \left |-85.5\cdot 0.9178^{\,20000/1000} \right |=\;?\,(\textup{g/1000\,\aa r}) \end{align*}

Din fortolkning er iøvrigt helt rigtig, da "henfald" er en aftagende mængde. Desuden er fremskrivningsfaktoren a = 0.9178 < 1 ⇒ f er en aftagende funktion ⇒ ' < 0.


Svar #3
09. juli kl. 17:31 af ca10

Jeg forstår svaret

        Den numeriske værdi af f ' (0/1000) = -85,5 * 0,91780/1000 = 85,5 (g/1000 år)

Den numeriske værdi af f ' (20000/1000) = -85,5 * ,0917820000/1000 = 15,4 (g/1000år)

Jeg havde gjort det samme men havde ikke set at der skulle anvende den begrebet numerisk værdi af et tal

Den numeriske værdi af et tal t betyder at to modsatte tal har samme numeriske værdi således

f.eks - 5 og 5 tilægges samme numerisk 5

Dette har jeg slået op hos Kristensen og Rindung 1 For 1. G

Tak for svaret


Brugbart svar (1)

Svar #4
10. juli kl. 14:48 af mathon

                 \small \small \begin{array}{llllll} \textup{S\ae dvanligvis}\\ \textup{beskrives henfaldet:}\\& N(t)= &N_0\cdot e^{-kt}=N_0\cdot a^t\qquad a,k>0\\\\ \textup{\textbf{Selve} den }\\ \textup{henfaldne m\ae ngde:}\\& f(t)=&N_0-N(t)=N_0\left ( 1-a^t \right )\\\\ \textup{Henfaldshastigheden:}\\& v(t)=&f{\, }'(t)=N_0\cdot \left ( 0-\ln(a)\cdot a^t \right )\\\\\\ \textup{i anvendelse:}\\& v(t)=&f{\, }'(t)=1000\cdot \left ( 0-\ln(0.9178)\cdot 0.9178^t \right )=\\\\&& 1000\cdot \left ( -\left ( -0.08578 \right ) \right )\cdot 0.9178^t=\\\\&& 85.78\cdot 0.9178^t \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #5
10. juli kl. 21:06 af mathon

mindre korrektion:

                 \small \small \begin{array}{llllll} \textup{S\ae dvanligvis}\\ \textup{beskrives henfaldet:}\\& N(t)= &N_0\cdot e^{-kt}=N_0\cdot a^t\qquad 0<a<1,k>0\\\\ \textup{\textbf{Selve} den }\\ \textup{henfaldne m\ae ngde:}\\& f(t)=&N_0-N(t)=N_0\left ( 1-a^t \right )\\\\ \textup{Henfaldshastigheden:}\\& v(t)=&f{\, }'(t)=N_0\cdot \left ( 0-\ln(a)\cdot a^t \right )\\\\\\ \textup{i anvendelse:}\\& v(t)=&f{\, }'(t)=1000\cdot \left ( 0-\ln(0.9178)\cdot 0.9178^t \right )=\\\\&& 1000\cdot \left ( -\left ( -0.08578 \right ) \right )\cdot 0.9178^t=\\\\&& 85.78\cdot 0.9178^t \end{array}


Svar #6
11. juli kl. 11:02 af ca10

Tak for svaret


Skriv et svar til: Henfald af det radioaktive stof plutonium, Vejen til Matematik B2, Opgave 156, Side 161, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.