Matematik

Besværlig grænseværdi

17. september 2021 af gavs (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal skabe et nemt differentiabelt '0'/'0'-udtryk af funktionen:

f(x)=\frac{2}{3*x}-\frac{2*cos(x)}{3*sin(x)}

Jeg har lavet følgende omskrivning:

f(x)=\frac{2* tan(x)^2-2*x*tan(x)}{3* x* tan(x)^2}

Men den bliver grum at differentiere i hånden, og den giver mig i øvrigt heller ikke noget brugbart resultat. Hvordan kan jeg ellers omskrive udtrykket, så det er til at arbejde med?

Grænseværdien er specificeret således:

 \lim_{x\rightarrow \pi ^-}=f(x)


Brugbart svar (0)

Svar #1
17. september 2021 af SuneChr

Sæt på fælles brøkstreg:

\frac{2}{3x}+\frac{2\sin (2x)}{3(\cos (2x)-1)}


Svar #2
17. september 2021 af gavs (Slettet)

Kan du måske uddybe, hvordan du har lavet denne omskrivning?


Brugbart svar (0)

Svar #3
17. september 2021 af janhaa

numerator:\\ \\ 2\cos(x)sin(x)=\sin(2x)


Brugbart svar (0)

Svar #4
17. september 2021 af janhaa

denominator:

3\sin^2(x)=\frac{3}{2}(3-\cos(2x))


Brugbart svar (0)

Svar #5
17. september 2021 af janhaa

I believe the limit is:

\lim_{x \to \pi^-}f(x)=\frac{2}{3\pi}


Svar #6
17. september 2021 af gavs (Slettet)

Det forstår jeg ikke helt, da Maple giver mig, at den går mod plus uendelig


Brugbart svar (0)

Svar #7
17. september 2021 af Anders521

#6 Her er et forsøg:

f(x)=\frac{2}{3x}-\frac{2\cos(x)}{3\sin(x)}=\frac{2}{3}\bigg(\frac{1}{x} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \bigg) =\frac{2}{3}\bigg(\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan(x)} \bigg)

\text{Bem\ae rk at}\, \frac{1}{x}\rightarrow \ \frac{1}{\pi}\, \text{for}\, x\rightarrow \pi^- \quad \text{og} \quad \frac{1}{\tan(x)}\rightarrow -\infty\, \text{for}\, x\rightarrow \pi^-\text{dvs. at} \,f(x)\rightarrow \infty \, \text{for}\, x\rightarrow \pi^-


Svar #8
19. september 2021 af gavs (Slettet)

Hmm. Kan man ikke bare gøre sådan her:

\frac{2*sin(x)-2*cos(x)*x}{3*sin(x)*x}

Man kan af dette udtryk vel direkte se, at tælleren går mod en konstant, og nævneren går mod 0, og dermed kan man vel konkludere, at det samlede udtryk går mod uendelig?


Brugbart svar (0)

Svar #9
19. september 2021 af janhaa

#8

Hmm. Kan man ikke bare gøre sådan her:

\frac{2*sin(x)-2*cos(x)*x}{3*sin(x)*x}

Man kan af dette udtryk vel direkte se, at tælleren går mod en konstant, og nævneren går mod 0, og dermed kan man vel konkludere, at det samlede udtryk går mod uendelig?

ja


Svar #10
19. september 2021 af gavs (Slettet)

Fantastisk. Så har jeg vist forstået det.


Brugbart svar (0)

Svar #11
19. september 2021 af AskTheAfghan

#8     Du er der næsten. Tænk på, at hvis x går mod 0, vil 1/x gå mod ±∞, ikke bare +∞. Det er derfor, x skal i dit tilfælde gå mod π fra venstre. Du må gerne begrunde, hvorfor dit tilfælde ikke går mod -∞, så er den sat på plads.


Svar #12
19. september 2021 af gavs (Slettet)

Ja, det har jo nok noget med fortegnene at gøre.


Brugbart svar (0)

Svar #13
21. september 2021 af AskTheAfghan

#12     Fortegnene af hvad? Hvis x går mod 0, vil 1/x gå mod ±∞, men -1/x går også mod ±∞.


Skriv et svar til: Besværlig grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.