Matematik

Besværlig grænseværdi

17. september kl. 15:15 af gavs - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal skabe et nemt differentiabelt '0'/'0'-udtryk af funktionen:

f(x)=\frac{2}{3*x}-\frac{2*cos(x)}{3*sin(x)}

Jeg har lavet følgende omskrivning:

f(x)=\frac{2* tan(x)^2-2*x*tan(x)}{3* x* tan(x)^2}

Men den bliver grum at differentiere i hånden, og den giver mig i øvrigt heller ikke noget brugbart resultat. Hvordan kan jeg ellers omskrive udtrykket, så det er til at arbejde med?

Grænseværdien er specificeret således:

 \lim_{x\rightarrow \pi ^-}=f(x)


Brugbart svar (0)

Svar #1
17. september kl. 15:28 af SuneChr

Sæt på fælles brøkstreg:

\frac{2}{3x}+\frac{2\sin (2x)}{3(\cos (2x)-1)}


Svar #2
17. september kl. 15:46 af gavs

Kan du måske uddybe, hvordan du har lavet denne omskrivning?


Brugbart svar (0)

Svar #3
17. september kl. 17:32 af janhaa

numerator:\\ \\ 2\cos(x)sin(x)=\sin(2x)


Brugbart svar (0)

Svar #4
17. september kl. 17:43 af janhaa

denominator:

3\sin^2(x)=\frac{3}{2}(3-\cos(2x))


Brugbart svar (0)

Svar #5
17. september kl. 18:11 af janhaa

I believe the limit is:

\lim_{x \to \pi^-}f(x)=\frac{2}{3\pi}


Svar #6
17. september kl. 20:40 af gavs

Det forstår jeg ikke helt, da Maple giver mig, at den går mod plus uendelig


Brugbart svar (0)

Svar #7
17. september kl. 23:24 af Anders521

#6 Her er et forsøg:

f(x)=\frac{2}{3x}-\frac{2\cos(x)}{3\sin(x)}=\frac{2}{3}\bigg(\frac{1}{x} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \bigg) =\frac{2}{3}\bigg(\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan(x)} \bigg)

\text{Bem\ae rk at}\, \frac{1}{x}\rightarrow \ \frac{1}{\pi}\, \text{for}\, x\rightarrow \pi^- \quad \text{og} \quad \frac{1}{\tan(x)}\rightarrow -\infty\, \text{for}\, x\rightarrow \pi^-\text{dvs. at} \,f(x)\rightarrow \infty \, \text{for}\, x\rightarrow \pi^-


Svar #8
19. september kl. 10:45 af gavs

Hmm. Kan man ikke bare gøre sådan her:

\frac{2*sin(x)-2*cos(x)*x}{3*sin(x)*x}

Man kan af dette udtryk vel direkte se, at tælleren går mod en konstant, og nævneren går mod 0, og dermed kan man vel konkludere, at det samlede udtryk går mod uendelig?


Brugbart svar (0)

Svar #9
19. september kl. 14:45 af janhaa

#8

Hmm. Kan man ikke bare gøre sådan her:

\frac{2*sin(x)-2*cos(x)*x}{3*sin(x)*x}

Man kan af dette udtryk vel direkte se, at tælleren går mod en konstant, og nævneren går mod 0, og dermed kan man vel konkludere, at det samlede udtryk går mod uendelig?

ja


Svar #10
19. september kl. 15:00 af gavs

Fantastisk. Så har jeg vist forstået det.


Brugbart svar (0)

Svar #11
19. september kl. 18:19 af AskTheAfghan

#8     Du er der næsten. Tænk på, at hvis x går mod 0, vil 1/x gå mod ±∞, ikke bare +∞. Det er derfor, x skal i dit tilfælde gå mod π fra venstre. Du må gerne begrunde, hvorfor dit tilfælde ikke går mod -∞, så er den sat på plads.


Svar #12
19. september kl. 18:32 af gavs

Ja, det har jo nok noget med fortegnene at gøre.


Brugbart svar (0)

Svar #13
21. september kl. 08:40 af AskTheAfghan

#12     Fortegnene af hvad? Hvis x går mod 0, vil 1/x gå mod ±∞, men -1/x går også mod ±∞.


Skriv et svar til: Besværlig grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.