Matematik

Hjælp til opgave kompakt operator

26. oktober 2021 af ElskerCalculus - Niveau: Universitet/Videregående

jeg vil have hjælp til opgaven jeg har vedhæftet

Vedhæftet fil: ex4.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #1
26. oktober 2021 af AndersBlisby

Brugbart svar (2)

Svar #2
26. oktober 2021 af AndersBlisby

Bruger du Elementary Functional Analysis af Barbara D MacCluer?

Prøv at antag at $\lim_{n\rightarrow \infty }\alpha_n\neq 0$ . Hvad ved du så heraf?

Målet er i hvert fald at vise, at $A$ ikke er kompakt.

Svar #3
27. oktober 2021 af ElskerCalculus

#2
Bruger du Elementary Functional Analysis af Barbara D MacCluer?

Prøv at antag at $\lim_{n\rightarrow \infty }\alpha_n\neq 0$ . Hvad ved du så heraf?

Målet er i hvert fald at vise, at $A$ ikke er kompakt.

jeg forstår ikke helt præcist hvad det er du skriver..

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. oktober 2021 af Anders521

#4 Der menes, at du (be)vise udsagnet " if A is compact then lim_n→∞a_n = 0 " ved kontraposition.

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. oktober 2021 af AndersBlisby

Det er faktisk en god opgave det her. Lad $\{e_n\}$ være en basis for $\mathcal{H}$ og lad $A$ være givet ved $Ae_n=\alpha_ne_n$ . Her antager du, at $\lim_{n\rightarrow \infty} \alpha_n\neq0$ , så ved du, at der må eksistere en delfølge $\{\alpha_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ og $M>0$ sådan at $|\alpha_{n_k}|>M, \forall k$ . Vi skal vise ved modstrid, at $A$ ikke er kompakt som der er angivet i #1 og #4. Sæt derfor $t\neq k$ , så

$||Ae_{n_t}-Ae_{n_k}||^2=||\alpha_{n_t}e_{n_t}-\alpha_{n_k}e_{n_k}||^2=|\alpha_{n_t}|^2+|\alpha_{n_k}|^2>2M^2.$

Her følger den sidste ulighed af ortogonalitet... Så delfølgen $\{e_{n_k}\}_k$ af $\{e_{n}\}_n$ er IKKE en Cauchy, så derfor er den heller ikke konvergent, og det giver os, at $A$ ikke er kompakt...

Brugbart svar (0)

Svar #6
31. oktober 2021 af AndersBlisby

Rettelse til #5, jeg mente naturligvis bevis ved kontraposition og IKKE modstrid… Undskyld ulejligheden.

Skriv et svar til: Hjælp til opgave kompakt operator

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.