Bestemme løsning til differentialligning

Første vedhæftede opgave:

Anden vedhæftede opgave

integrating factor

#1

Dette er kun et kvalificeret gæt:

Der gives differentialligningen  (x+5)·y' = √y hvor rigtig nok der skal bruges seperation af de variable. Det bemærkes først, at uligheden √y > 0 må gælde, da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal. Ser man bort fra faktoren x+5, kunne det tyde på, at løsningen y må være en (streng) voksende funktion. Nu løses ligningen:

                                                                   (x+5)·y' = √y ⇔                                                                                                                                              ∫ ( 1/ √y  ) dy  = ∫ ( 1/(x+5) ) dx     

I dette trin bliver det åbenlyst, om hvorfor der bruges den "skarpe ulighed"  > og ikke"den svage ulighed" ≥. Omskrivningen følger af de gængse regneregler indenfor ligningsløsning. Der fortsættes:

                                                                        2√y = ln| x+5 | + k, hvor k ∈ R 

Bemærk at der skrives ln|x+5|, da det ikke vides på forhånd om x ≥ -5.  Hvis det var tilfældet, ville man skrive ln(x+5) i stedet. Med punktet P(-4,1), indsættes koordinaterne i ligningen oven for:

                                                              2√1 = ln| -4+5 | + k  ⇔

                                                                  2 = k                                                                                                  Dermed haves løsningen?

                                                            y₁ = ( ½·ln| x+5 | + 1 )²

Tegner man integralkurven for løsningen er den ikke streng voksende som der først antog. Men for 

                                                           y₂ = ( ½·ln( x+5 ) + 1 )²                                                                               i intervallet  ] e^-2 - 5; ∞ [ vil den nye løsning være streng voksende ... og den går gennem punktet P.

_{P.S. Intervallet bestemmes ved at løse uligheden ½·ln( x+5 ) ≥ 1}

#2 

Se linket https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1925116