Matematik

Baseskift lineær algebra - er det rigtigt?

16. februar 2022 af Jones2929 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle sammen. Jeg er ved at læse op til en reeksamen i lineær algebra, da jeg desværre dumpede første gang :(. Jeg har haft lidt svært ved at forstå et baseskift første gang, men jeg tror, at jeg er ved at forstå det nu. Hvis én af de kloge hoveder herinde ville være villige til at kigge på følgende, og sige lidt om, hvorvidt det er korrekt, ville jeg værdsætte det.

-En base for et underrum V af $\mathbb{R}^n$ , et n-dimensionelt vektorrum, er et lineært uafhængigt sæt i V, som udspænder V. Dvs $\ss = \left \{ v_1, v_2 (...) v_n \right \}$ er en base for, når B er lineært uafhængig, og V = Span(b). Dette fører os videre til baseskift.

-Når sættet B = {v1, ... vn} er en base for et underrum H, vil der for hvert x i H gælde, at koordinaterne af x i.f.t. basen b er vægtene c1, c2 ... cn så $x = c_1b_1 + c_2b_2 + (...) + c_nb_n$ og en vektor

$[\mathbf{x}]\ss = \begin{vmatrix} c_1\\ c_2\\ (...)\\ c_n \end{vmatrix}$

Altså, det vil sige, at koordinatvektoren af x i.f.t. B består af vægtene i linearkombinationen.

-Dette kan perspektiveres til baseskift ved lineartransformationer. Når man har en lineær transformation, går man fra $\mathbb{R}^n -> \mathbb{R}^m$ under en lineær operator T. I $\mathbb{R}^n$ har vi basen $[\mathbf{X}]_B$ , mens vi i $\mathbb{R}^m$ har en base $[T(x)]_C$ , hvor $[T(x)]_C = M[X]_B$ . (NB: i lige netop mit kursus er der ikke meget fokus på beviser, så dette bør være "ok" med formulering). [T(x)]c er billedet af [X]b, og ligger i R^m, mens [X]b ligger R^n

Det svarer til, at man repræsenterer en repræsentation T(x) = Ax i en 'bedre' basis. Vi kan skrive A = PDP^-1. I så fald er B - matricen givet ved søjlerne af D.

Lyder det rigtigt nok? Altså: [X]b er standardbasen, mens [T(x)]c er den nye, 'bedre' basis, som kan findes manuelt, eller aflæses af "d", hvis man kan skrive den på formen $A = PDP^-1$

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. februar 2022 af peter lind

Det ser ikke rigtigt ud, men jeg forstår heller ikke hvad du skriver. Det bedste er nok at se i din bog. Du kan også se https://en.wikipedia.org/wiki/Change_of_basis

Brugbart svar (1)

Svar #2
16. februar 2022 af peter lind

Du skal have en matrix B der afbillede den nye basis ind i den gamle. En vektor x i den nye basis ganget fra højre på B bliver så til den samme vektor men i den gamle vektors koordinater. A*B*x bliver så en vektor i de gamle koordinater og som er billede ved afbildningen af A. Hvis du så ganger det fra højre med B^-1 altså B^-1*A*B får du resultatet i de nye koordinater.

Skriv et svar til: Baseskift lineær algebra - er det rigtigt?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.