Matematik

Sandsynlighed

27. februar 2022 af Trussetyven43 - Niveau: B-niveau

Hej. Jeg har forsøgt at løse denne opgave, men jeg er ikke nået frem til et resultat. Kan I hjælpe?

I den norske by Lofoten afholdes en årlig øksefest. Karle fra nær og fjern kommer for at vise deres færdigheder som øksekastere. Thorbård, den regerende mester, kan ramme bullseye fra 20 meters afstand med en træfsikkerhed på 2/3. Udfordreren, Hylsveir, har en træfsikkerhed på 1/3. Kampen afgøres ved at begge deltagere kaster tre gange mod målet. Vinderen er den som har flest træffere af de tre - uafgjort tæller ikke som sejr. Hvad er sandsynligheden for at Hylsveir vinder over Thorbård?

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. februar 2022 af SuneChr

Man observerer, at
p_Thorbård(X = j) = p_Hylsveir(X = 3 - j) j = 0, 1, 2, 3
Lav evt. et 4 × 4 felt skema med to indgange og indskriv sandsynlighederne, (produktet)
og medtag de felter der viser, at Hylsveir har flere træffere end Thorbård.
Læg da sandsynlighederne sammen. Husk, at skemaet kun skal læses enten over eller
under diagonalen.

Brugbart svar (1)

Svar #2
27. februar 2022 af ringstedLC

$\begin{align*} U(Hy,Th) &= \left\{\begin{matrix} (0,0), (0,1), (0,2), (0,3) \\ {\color{Red} (1,0)}, (1,1), (1,2), (1,3) \\ {\color{Red} (2,0)}, {\color{Red} (2,1)}, (2,2), (2,3) \\ {\color{Red} (3,0)}, {\color{Red} (3,1)}, {\color{Red} (3,2)}, (3,3)\end{matrix}\right\}\Rightarrow U(Hy{\color{Red} \,>\,}Th)=\left\{\begin{matrix} (1,0), (2,0) \\ (2,1), (3,0) \\ (3,1), (3,2)\end{matrix}\right\} \end{align*}$ $\begin{align*} p(Hy>Th) &= \left\{\begin{matrix} \biggl(p\bigl(Hy\bigr) \cdot p\Bigl(\overset{\underline{\quad\;}}{Hy}\Bigr)^{\!2}\!\cdot p\Bigl(\overset{\underline{\quad\;}}{Th}\Bigr)^{\!3}\biggr), \biggl(p\bigl(Hy\bigr)^{\!2}\!\cdot p\Bigl(\overset{\underline{\quad\;}}{Hy}\Bigr)\!\cdot p\Bigl(\overset{\underline{\quad\;}}{Th}\Bigr)^{\!3}\biggr) \\ \biggl(p\bigl(Hy\bigr)^{\!2}\!\cdot p\Bigl(\overset{\underline{\quad\;}}{Hy}\Bigr)\!\cdot p\bigl(Th\bigr)\!\cdot p\Bigl(\overset{\underline{\quad\;}}{Th}\Bigr)^{\!2}\biggr), \biggl(p\bigl(Hy\bigr)^{\!3}\!\cdot p\Bigl(\overset{\underline{\quad\;}}{Th}\Bigr)^{\!3}\biggr) \\ \biggl(p\bigl(Hy\bigr)^{\!3}\!\cdot p\bigl(Th\bigr)\!\cdot p\Bigl(\overset{\underline{\quad\;}}{Th}\Bigr)^{\!2}\biggr), \biggl(p\bigl(Hy\bigr)^{\!3}\!\cdot p\bigl(Th\bigr)^{\!2}\!\cdot p\Bigl(\overset{\underline{\quad\;}}{Th}\Bigr)\biggr) \end{matrix} \right\}\end{align*}$

$\begin{align*} 1 &= p(Hy)+p(\overline{Hy}) &\Rightarrow p(\overline{Hy}) &=1-p(Hy) \\ &&\Rightarrow p(\overline{Hy})&=1-\tfrac{1}{3} \\ 1 &= p(Th)+p(\overline{Th}) &\Rightarrow p(\overline{Th}) &=1-p(Th) \\ &&\Rightarrow p(\overline{Th})&=1-\tfrac{2}{3} \\ &&p(Hy>Th) &= \frac{17}{27^2}=\frac{17}{729}\approx 2.33\% \end{align*}$

Svar #3
27. februar 2022 af Trussetyven43

Jeg forstår at Hylsveir skal have flere træffere for at vinde, som ringstedLC har stillet det op i første linje. Men jeg forstår ikke helt beregningen af sandsynligheden, så kan i forklarer det lidt mere? På forhånd tak.

Brugbart svar (1)

Svar #4
27. februar 2022 af SuneChr

Antal tilfælde      729.-dele:
T = 0 og H = 1    12
T = 0 og H = 2      6
T = 0 og H = 3      1
T = 1 og H = 2    36
T = 1 og H = 3      6
T = 2 og H = 3    12
                             73
Sandsynlighed ⁷³/₇₂₉

Brugbart svar (1)

Svar #5
28. februar 2022 af ringstedLC

De røde udfald gør Hylsveir til vinder.

I tilfældet (2,1) har Hylsveir sandsynligheden p(Hy)² = (1/3)² for 2 gg "plet" og p(non Hy) = 1-1/3 for en misser. De to sandsynligheder skal ganges sammem.

Thorbård rammer én gang med sandsynligheden p(Th) = 2/3 og laver to missere med sandsynligheden p(non Th)² = (1-2/3)². De to ganges også sammen og ganges med Hylsveir's samlede sandsynlighed for at få sandsynligheden for udfaldet (2,1).

De fem andre udfald beregnes på lignende måde og alle seks adderes.

Hvis du regner med eksakte værdier (brøkregning), skulle det gerne give 17/27²

Altså multiplikationsprincippet for hvert enkelt udfald og additionsprincippet for de seks udfald.

Svar #6
28. februar 2022 af Trussetyven43

Jeg har prøvet at beregne sandsynligheden og jeg er kommet frem til følgende. Jeg kan kun finde ud af at lægge billederne op som filer.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2022-02-28 kl. 12.49.36.png

Svar #7
28. februar 2022 af Trussetyven43

Billede 2

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2022-02-28 kl. 12.49.52.png

Svar #8
28. februar 2022 af Trussetyven43

Billede 3.

Jeg har beregnet at sandsynligheden for at Hylsveir vinder er ≈ 10,01%

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2022-02-28 kl. 12.50.16.png

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. februar 2022 af SuneChr

Ad # 8
Se # 4

Svar #10
28. februar 2022 af Trussetyven43

Okay, jeg forstår det. Tak

Skriv et svar til: Sandsynlighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.