Vise kontinuitet i punkt

Hvorfor er √Δx → 0 for Δx → 0? Lægger du ikke mærke til, at kontinuiteten i 0 er ækvivalent med, at √x → 0 for x→ 0? For at vise, at √x er kontinuert i 0, bemærker du, at |√x - 0| = √x. Uanset valget af ε > 0, skal du finde et δ(ε) > 0 sådan at √x < ε for alle x opfyldende |x| < δ.

Jeg blander det nok sammen med at vise generel kontinuitet, så jeg troede, man bare kunne substituere det vilkårlige x med 0. Så jeg gør altså sådan her:

Så må det vel gælde, at:

Så kan jeg opstille uligheden:

Så hvis jeg vælger delta til at være lig med epsilon, er den så ikke god nok?

Det er ikke helt korrekt, at |√x| ≤ |x|. Prøv tast fx. x = 0.5, og se hvad det giver.

Hvis der sættes δ = ε² (hvorfor?), vil definitionen for kontinuitet blive opfyldt.

Nå ja, fordi det gælder jo, at:

Så kan man jo se, at:

Og derfor må det gælde, at:

#4 Lad ε > 0 og sæt δ := ε² . Da gælder der, at |x -0| = |x| < δ = ε² ⇔√|x| < √ε² =ε. Det medfører, at                    |f(x) - f(0)| = |√x - √0| = |√x| = √|x| <  ε .

Det er dog vigtigt at understrege, at kontinuiteten er underforstået fra højre i punktet 0.
Som også anført ovenfor har vi:
   ∀ ε > 0 :   0 < x < ε²  ⇒  || < ε