Matematik

Trigonometri, Opgave 418, (Ib Axelsen m.fl)

21. april 2022 af ca10 - Niveau: B-niveau

Opgave. 418

Løs ligningen (cos( x ))2 - (9/2)•cos( x ) + 2 = 0

Mit forsøg på løsning.

Der er vel tale om et andengradspolynomium p med rødderne x1 og x2 

      - b - √ d                               - b - √ d    

x1 = -------------        og      x2 = -------------

        2a                                         2a

Hvor d = b2 - 4ac 

a = 1, b = (-9/2),  c = 2

                                       81                 81 - 32            49

 d = (-9/2)2 - 4 • 1 • 2 = -------  - 8 =    ------------ =   ----------

                                         4                     4                  4   

    - (-9/2 - √ (49/4)              -(-9/2) - (7/2       (9-7) / 2       1       

x1 = -----------------       =   ------------------- =   ----------- = -------

               2                                2                     2               2

        - (-9/2) + (7/2)      (9+7) / 2               16 / 2

x2 = -------------------- = ------------------  = ------------- = 4

              2                               2                   2

Men dette forsøg giver ikke nogen mening

Så mit spørgsmål er, hvordan løser man ligningen (cos( x ))2 - (9/2)•cos( x ) + 2 = 0

På forhånd tak


Brugbart svar (1)

Svar #1
21. april 2022 af peter lind

Du må bare konstatere at den sidste løsning ikke er gyldig da cos(x) <= 1


Brugbart svar (1)

Svar #2
21. april 2022 af mathon

\small \begin{array}{llllll}&& \cos(x)=&\frac{-\left ( -\frac{9}{2} \right )\mp\sqrt{\left (-\frac{9}{2} \right )^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\frac{\frac{9}{2}\mp\sqrt{\frac{81}{4}-\frac{32}{4}}}{2}=\frac{\frac{9}{2}\mp\sqrt{\frac{49}{4}}}{2}=\frac{\frac{9}{2}\mp\frac{7}{2}}{2}=\\\\&&& \left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{2}\\4 &\textup{som m\aa \ forkastes} \end{array}\right.\\\\\\&& \cos(x)=\cos\left ( 2\pi-\frac{\pi}{3} \right )=\cos\left ( \frac{5\pi}{3} \right )=\frac{1}{2}\\\\&&&x=\left\{\begin{array}{lll} \frac{\pi}{3}+p\cdot 2\pi\\&p\in\mathbb{Z}\\ \frac{5\pi}{3}+p\cdot 2\pi \end{array}\right. \end{array}


Svar #3
21. april 2022 af ca10

Tak for svaret


Svar #4
22. april 2022 af ca10

Til mathon

I formelsamlingen ses at :

cos ( x + 2π) = cos ( x )

Så langt så godt.

Jeg forstår ikke hvordan du omformer ligningen:

1:  (cos ( x ) )2 - (9/2) • (cos ( x ) + 2 = 0    som jo må blive til    

2:  cos ( x) = cos ( 2π - x )      og dermed har bestemt x =  π / 3                                                                                         

3: Jeg kan se at når man først har man  bestemt x = π / 3 og det indsættes  i cos ( x) = cos ( 2π - x ) så får      man:     

3: cos ( x ) = cos ( 2π - π / 3 ) = ( 5π / 3 ) = 1 / 2.

Mit spørgsmål er, hvordan omformer du ligningen

(cos ( x ) )2 - (9/2) • (cos ( x ) + 2 = 0

På forhånd tak


Brugbart svar (1)

Svar #5
22. april 2022 af peter lind

Kald y = cos(x)

Så bliver ligningen

y2-y*9/2 +2 = 0

Det er en velkendt ligning, som let løses.

Resultatet bliver y = 1/2 eller y=4

Den sidste løsninge er større end 1 og dermed ikke en gyldig løsning

så cos(x) = 1/2


Brugbart svar (1)

Svar #6
23. april 2022 af mathon

\small \begin{array}{lllllll} \cos(x)=\cos(2\pi-x)=\frac{1}{2}\\&\cos(x)=\frac{1}{2}\\&x=\cos^{-1}\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{\pi}{3}\\\\&\cos(2\pi-x)=\frac{1}{2}\\&2\pi-x=\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\\& x=2\pi-\frac{\pi}{3}\\&x=\frac{6\pi-\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\\\\& x=\left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{3}+p\cdot 2\pi\\&p\in\mathbb{Z}\\ \frac{5\pi}{3}+p\cdot 2\pi \end{matrix}\right. \end{array}


Skriv et svar til: Trigonometri, Opgave 418, (Ib Axelsen m.fl)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.