Matematik

Bevis for differentialregning

22. april 2022 af Duksedreng - Niveau: B-niveau

har fået et bevis for hvor man skal bruge differentialkvotient til at udregne, men er lidt lost

$(x^2+5x)'=2x+5$

Brugbart svar (1)

Svar #1
22. april 2022 af mathon

Brug tretrinsreglen, hvis du ikke blot skal benytte $\small \left ( a\cdot x^n \right ){}'=a\cdot n\cdot x^{n-1}$

Svar #2
22. april 2022 af Duksedreng

ah det tænkte jeg nok var en løsning. mange tak!

Svar #3
22. april 2022 af Duksedreng

#1
Brug tretrinsreglen, hvis du ikke blot skal benytte $\small \left ( a\cdot x^n \right ){}'=a\cdot n\cdot x^{n-1}$

Har prøvet lidt frem, men forstår ikke hvordan jeg skal ende, kan se jeg skal bruge formlen $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Svar #4
22. april 2022 af Duksedreng

Hvordan finder jeg ud af hvad er x_0 og x

Brugbart svar (1)

Svar #5
23. april 2022 af Anders521

#3
#1
Brug tretrinsreglen, hvis du ikke blot skal benytte $\small \left ( a\cdot x^n \right ){}'=a\cdot n\cdot x^{n-1}$

Har prøvet lidt frem, men forstår ikke hvordan jeg skal ende, kan se jeg skal bruge formlen $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Bogstaverne x₀ og x repræsenterer tal, det samme gør f(x) og f(x₀). Skrives disse som talparrerne (x, f(x)) og (x₀, f(x₀)) repræsenterer de punkter som grafen for funktionen f går gennem. For funktionen givet ved forskriften f(x) = x² + 5x skal du gøre følgende:

1) Start med at opskrive funktionstilvæksten Δf = f(x) - f(x₀).

2) Beregn dernæst differenskvotienten ( f(x) - f(x₀) ) / (x - x₀)

3) Lad nu x→x₀. Hvilket tal går kvotienten imod? Tallet kaldes, i øvrigt, differentialkvotienten.

Brugbart svar (1)

Svar #6
23. april 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textbf{1. Trin}\\&f(x_o+h)-f(x_o)=\left(x_o+h \right) ^2+5\cdot \left(x_o+h \right )-\left(x_o^2+5x_o \right )=\\\\& {x_o}^2+2x_oh+h^2+5x_o+5h-{x_o}^2-5x_o=\\\\& \left(2x_o+5+h \right )\cdot h\\\\\\ \textbf{2. Trin}\\&\frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}=\frac{\left(2x_o+5+h \right )\cdot h}{h}=2x_o+5+h\\\\\\ \textbf{3. Trin}\\& f{\, }'(x_o)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim} \frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}=2x_o+5+0=2x_o+5 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. april 2022 af Anders521

Den anden variant af indholdet i #6

1. Trin f(x) - f(x0) = x² + 5 - (x₀² + 5) = x² - x₀² = (x + x₀)·(x - x₀).

2. Trin ( f(x) - f(x0) )/ (x - x₀) = (x + x₀)·(x - x₀)/ (x - x₀) = x + x₀.

3. Trin Når x → x₀ vil ( f(x) - f(x₀) )/ (x - x₀) = x + x₀ → x₀ + x₀ = 2x₀.

Heraf er 2x₀ = lim_x→x0 = f '(x₀)

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. april 2022 af Anders521

Rettelse til #7 Overså variablen x til tallet 5:

1. Trin f(x) - f(x₀) = x² + 5x - (x₀² + 5x₀) = x² +5x - x₀² - 5x₀ = (x - x₀)·(x + x₀ +5)

2. Trin ( f(x) - f(x₀) )/ (x - x₀) = (x - x₀)·(x + x₀ +5)/ (x - x₀) = x + x₀ + 5

3. Trin Når x → x₀ vil ( f(x) - f(x₀) )/ (x - x₀) = x + x₀ + 5 → x₀ + x₀ + 5 = 2x₀ + 5

Heraf er 2x₀ + 5 = lim_x→x0 = f '(x₀)

Skriv et svar til: Bevis for differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.