Matematik

Plangeometri

01. maj 2022 af isakkq9 - Niveau: B-niveau

Har en aflevering for, hvor det her er et spørgsmål:

Du skal bevise formlen for afstanden mellem et punkt og en linje i planen. Forklar hvordan dette kan bruges til at bestemme antal skæringer mellem en cirkel og en linje.

Nogen som kan hjælpe, forstår det ikke.

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. maj 2022 af mathon

Tegn linjen $\small l.$

Afsæt punktet $\small P(x,y)$ , hvis afstand til $\small l$ skal beregnes.
Afsæt et fast punkt $\small P_o(x_o,y_o)$ på $\small P_o(x_o,y_o)$ .
Tegn vektor $\small \overrightarrow{P_oP}$ = $\small \bigl(\begin{smallmatrix} x-x_o\\ y-y_o \end{smallmatrix}\bigr)$
Afsæt en normalvektor til $\small l$ $\small \overrightarrow{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)$ i $\small P_o.$
Vinklen mellem $\small \overrightarrow{n}$ og $\small \overrightarrow{P_oP}$ kaldes $\small v.$

Afstanden fra $\small P$ til $\small l$
er:
$\small \begin{array}{lllllll} \textup{dist}\left ( l,P(x,y) \right )=\left|\left | \overrightarrow{P_oP} \right |\cdot \cos(v)\right | \end{array}$

Der multipliceres og divideres med $\small \begin{array}{lllllll} \left | \overrightarrow{n} \right | \end{array}$

$\small \begin{array}{lllllll} \textup{dist}\left ( l,P(x,y) \right )=&\frac{\left | \overrightarrow{n} \right |\cdot \left|\left | \overrightarrow{P_oP} \right |\cdot \cos(v)\right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |} =\frac{\left |\left | \overrightarrow{n} \right |\cdot \left | \overrightarrow{P_oP} \right |\cdot \left | \cos(v) \right | \right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=\frac{\left | \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{P_oP} \right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=\\\\& \frac{\left |\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} x-x_o\\y-y_o \end{smallmatrix}\bigr) \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left | ax+by+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}\quad \left ( c=-a\cdot x_o-b\cdot y_o \right ) \end{array}$

Svar #2
01. maj 2022 af isakkq9

Tak tak

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. maj 2022 af mathon

Tegn linjen $\small l.$

Afsæt punktet $\small P(x,y)$ , hvis afstand til $\small l$ skal beregnes.
Afsæt et fast punkt $\small P_o(x_o,y_o)$ på $\small l$ .
Tegn vektor $\small \overrightarrow{P_oP}$ = $\small \bigl(\begin{smallmatrix} x-x_o\\ y-y_o \end{smallmatrix}\bigr)$
Afsæt en normalvektor til $\small l$ $\small \overrightarrow{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)$ i $\small P_o.$
Vinklen mellem $\small \overrightarrow{n}$ og $\small \overrightarrow{P_oP}$ kaldes $\small v.$

Afstanden fra $\small P$ til $\small l$
er:
$\small \begin{array}{lllllll} \textup{dist}\left ( l,P(x,y) \right )=\left|\left | \overrightarrow{P_oP} \right |\cdot \cos(v)\right | \end{array}$

Der multipliceres og divideres med $\small \begin{array}{lllllll} \left | \overrightarrow{n} \right | \end{array}$

Skriv et svar til: Plangeometri

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.