Matematik

Trigonometriske fourier række

06. juni 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP,

Jeg har følgende opgave, som jeg er fuldstændig stuck på:

Vis at

$\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{inx}}{2^n}$

er konvergent for alle x i R, og vis at sumfunktionen kan skrives som:

$\frac{4-2e^{-ix}}{5-4cos(x)}$

for alle x i R. (Vink forlæng brøken med det konjugerede af nævneren.)

Jeg har ikke engang en idé om hvordan jeg starter på den her. Håber nogle kan hjælpe.

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. juni 2022 af peter lind

|e^inx/2ⁿ|≤1/2ⁿ

Tipset. Der er kun tale om reelle i nævneren???

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. juni 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Du kan vise absolut konvergens ved sammenligning med den geometriske række:

$\sum_{n=0}^{\infty}|\frac{e^{inx}}{2^n}|=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|e^{inx}|}{2^n}\leq\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}=2$

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. juni 2022 af oppenede

For reelle x er den konjugerede af tælleren:
$\overline{4-2e^{-ix}}=4-2e^{\overline{-ix}}=4-2e^{ix}$

og
$\\\frac{4-2e^{-ix}}{5-4\cos(x)}\frac{4-2e^{ix}}{4-2e^{ix}}=\frac{20-8 e^{-i x}-8 e^{i x}}{(5-4\cos(x))(4-2e^{ix})} \\\text{ }\hspace{3.5cm}=\frac{4(5-4\cos(x))}{(5-4\cos(x))(4-2e^{ix})} \\\text{ }\hspace{3.5cm}=\frac{4}{4-2e^{ix}}$

Skriv et svar til: Trigonometriske fourier række

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.