Matematik

Undersøge asymptote, Opgave 811

17. juni kl. 15:17 af ca10 - Niveau: B-niveau

Opgave 811

Undersøg om grafen for 

               x2 - x - 2 

f ( x ) = --------------- 

              x2 + 2x + 1 

har lodret i asymptote i x = -1

I bogen står der følgende:

Hvis f ( x ) = g ( x ) / h ( x ) er en polynomiumsbrøk, og a er rod i nævneren h ( x ) og ikke i tælleren g ( x ), er linien med ligningen x = a lodret asymptote til grafen for f.

Mit forsøg: Jeg omskriver f ved at forkorte brøken  med x2 det vil sige at jeg dividerer med x2 i både tæller og nævner og får:

               x2 - x - 2                1       2

              ---   --- ---         1 - ---- -  ----

               x2 - x2 - x2             x     x2

f ( x ) = ---------------   =    ----------------------        = 1 ,    når x går mod uendelig eller minus uendelig går 

             x2 + 2x + 1                  2         1                       tælleren mod 1  og nævneren går imod 1

            ----  ----     ---        1 +  ---- +  -----

             x2 + x2  + x2                 x         x2

Så 

f ( x ) → 1      når  x → ∞ 

f ( x ) → 1      når x → - ∞

Så jeg mener ikke at grafen har en lodret asymptote i x = -1

Jeg undersøger roden i tælleren 

x2 - x - 2,               d = ( -1 )2 - 4 • 1 • ( -2)  = 1 + 8 = 9

         - ( -1 ) - √( 9 )        1 - 3          -2

x1 = -------------------- = ----------- = -------- = -1

                 2                      2              2

           - ( - 1 ) + √( 9 )          1 + 3

x2 =  ------------------------ = ------------- = 2

                   2                         2

Undersøger roden i nævneren:

x2 + 2x + 1                  d = 22 - 4 • 1 • 1 = 4 - 4 = 0

og får 

         - 2 

x =   ----- = -1

         2

x = - 1 indsætter jeg i tælleren:       x2 - x - 2 = ( -1 )2 - ( -1 ) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0

X = -1 indsætter jeg i nævneren:    x2 + 2x + 1 = ( -1 )2 + 2 • ( -1 ) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0

Så x = - 1 er rod både i tælleren og nævneren

Så mit spørgsmål er, har grafen lodret asymptote når x = -1, får det mener jeg ikke den har ?

På forhånd tak


Brugbart svar (1)

Svar #1
17. juni kl. 15:30 af peter lind

Det betyder at x+1 er faktor i både tæller og nævner og den kan du forkorte ud


Brugbart svar (1)

Svar #2
17. juni kl. 15:51 af Soeffi

#0. Graf i Geogebra.

Vedhæftet fil:graf.png

Brugbart svar (1)

Svar #3
17. juni kl. 17:21 af Soeffi

#0. Hvis a er rod i både tæller og nævner, så vil der være lodret asymptote for x = a, hvis a's multiplicitet er højere i nævnerpolynomiet end i tællerpolynomiet. 


Svar #4
17. juni kl. 17:24 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser på det.


Brugbart svar (1)

Svar #5
17. juni kl. 18:18 af peter lind

 #3 Det er ikke sikkerrt. Der kan være dobbelt rod tælleren


Svar #6
18. juni kl. 12:08 af ca10

y = ax2 + bx + c opløses i faktorer  a • ( x - a ) • ( x - b )

jeg indsætter så rødderne fra tælleren x1 = -1 , x2 = 2 og roden x = -1 fra nævneren i ovenstående og omskriver funtkionen f

                x2  - x - 2               ( ( x - ( -1 ))  • ( x - 2 )                ( x + 1 ) • ( x - 2 )               x - 2

f ( x ) = ------------------- =  --------------------------------------  = ------------------------------- =  -------------- 

               x2 + 2x + 1           ( ( x - ( - 1 ))• (( x - ( -1 ))               ( x + 1 ) • ( x + 1 )             x + 1

Grafen må have et hul hvis x = -1 så bliver nævneren 0,så tallet må jo nærme sig  x = -1 så hvis man omskriver tælleren med  -1 og nævner med -1 og dividere med  x i tæller og nævner

                                                     - ( - x + 2 )                          2

                                                   -------------------             1 +  -----

    x - 2            - ( -x + 2 )                      x                                  x 

------------  =  ------------------- =  -----------------------  =   ------------------   = -1    når x → ∞  får jeg  

   x  + 1            - ( x - 1 )                 - ( x + 1 )                          - 1

                                                   ---------------------            -1   -------

                                                            x                                    x

         

                   x2  - x - 2               

lim          ---------------------    = -  1    så har grafen en lodret asymptote i x = -1        

x → ∞         x2 + 2x + 1             

Mit spørgsmål er, da det virker som en lidt kreativt omregning, er det en rigtig måde undersøge om grafen har en lodret asymptote i x = -1 ? 

På forhånd tak


Svar #7
18. juni kl. 12:19 af ca10

En rettelse 

ax2 + bx + c opløst i faktorer er a• ( x - x1 ) • ( x - x2 ) , og a må jo så være 1

Så udtrykket bliver når jeg indsætter rødderne x = -1 og x = 2 i tælleren og i nævneren x = 1

tælleren     ( x - (-1 )) • ( x - 2)         = ( x + 1 ) • ( x + 2 )

nævneren  ( x  - (-1)) • ( x - ( -1 ))   = ( x + 1 ) • ( x + 1 )


Brugbart svar (1)

Svar #8
18. juni kl. 15:38 af peter lind

Du har en fortegnsfejl i tælleren

Ja. det er den korrektemetode når du har 0 i både tæller og nævne. Du må også gøre det klart at så er funktionen ikke definere for x = roden; men det betyder ikke noget for grænseovergangen i det værdien ikke spiller nogen rolle


Svar #9
18. juni kl. 17:15 af ca10

Tak for svaret


Svar #10
19. juni kl. 14:51 af ca10

I # 8 Peter lind skriver at der er en fortegnsfejl i tælleren det lyder rigtigt, men der er noget med min omforming (metode) der ikke passer:

Der står i bogen:

Der gælder:

Hvis f ( x ) = g ( x ) / h ( x ) er en polynomiumsbrøk, og a er rod i nævneren h ( x ) og ikke i tælleren g ( x ), er linien med ligningen x = a lodret asymptote til grafen for f.

Sætningen følger af, at hvis a er rod i h ( x ) og ikke i g ( x ), vil

               h ( x )  →  h ( a ) = 0 ,    når   x  →  a

mens   

              g ( x )  → g ( a ) ≠ 0 ,      når   x  →  a

Når tælleren går mod et tal, der ikke er 0, og nævneren går imod 0, bliver brøkken et større og større positivt eller negativt tal. Grafen er derfor næsten lodret i nærheden af x = a, og der er så en lodret asymptote.

Jeg mener der er en fortegns fejl i omformning både af  tælleren og nævneren som er markeret med rødt efter det fjerde lighedstegn for der er noget som ikke passer i min omformning af nævneren ( x + 1).

                x2  - x - 2               ( ( x - ( -1 ))  • ( x - 2 )                ( x + 1 ) • ( x - 2 )               x - 2

f ( x ) = ------------------- =  --------------------------------------  = ------------------------------- =  -------------- 

               x+ 2x + 1           ( ( x - ( - 1 ))• (( x - ( -1 ))               ( x + 1 ) • ( x + 1 )             x + 1

                                                     - ( - x + 2 )                          2

                                                   -------------------             1 +  -----

    x - 2            - ( -x + 2 )                      x                                  x 

------------  =  ------------------- =  -----------------------  =   ------------------   = -1    når x → ∞  får jeg  

   x  + 1            - ( x - 1 )                 - ( x + 1 )                           -1

                                                   ---------------------            -1   -------

                                                            x                                    x

I tælleren skal der stå -2 og ikke 2

I nævneren  er x + 1  ≠  - ( x - 1 )

Grafen har et hul ved x  = -1 ,     når x  →  -1 går nævneren imod 0 så der må være en lodret asymptote når

  x   → -1 ,                                  ( men der står ikke noget i facitlisten )

Mit spørgsmål er, hvordan skal man undersøge om grafen for

                x2 - x - 2

f ( x ) = ------------------ ,     har en lodret asymptote i x = -1, 

               x2 + 2x +1

for der er noget galt med min omformning, er der nogen kan vise hvordan man foretager denne undersøgelse ?

På forhånd tak


Brugbart svar (0)

Svar #11
19. juni kl. 16:43 af peter lind

Der er nogle fortegnsfejl og et manglende tegn i linjen med rød. Denne linje er komplet overflødig. Resultatet for grænseoverganger x -> ∞ er +1.

Du skal se på grafen for (x-2)/(x+1) som er i #2. Det er den nemmeste metode. Du kan også prøve at regne på nogle værdier nær ved -1. det kan du gøre meget hurtigt i et regneark.


Svar #12
19. juni kl. 17:01 af ca10

Tak for svaret


Svar #13
21. juni kl. 13:27 af ca10

For at undersøge om 

                 x - x - 2               ( ( x - ( -1 ))  • ( x - 2 )                ( x + 1 ) • ( x - 2 )               x - 2

f ( x ) = ------------------- =  --------------------------------------  = ------------------------------- =  -------------- 

               x2 + 2x + 1           ( ( x - ( - 1 ))• (( x - ( -1 ))               ( x + 1 ) • ( x + 1 )             x + 1

har lodret i asymptote i x = -1

Funktionen f er ikke defineret i -1, men jeg forsøger lade nogle værdier af x nærme sig  - x fra venstre og højre for at se hvordan funktionsværdierne for funktionen f forløber:

                                                                     Fra venstre                                                 

                   ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

                         x                               - 1,1           - 1,01          - 1,001        - 1,0001          - 1,00001               

                    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                     tæller:     ( x  - 2 )         - 3,1000     - 3,0100      - 3,001         - 3,00001        - 3,000001  

                     nævner: ( x + 1 )          - 0,1000      -0,0100      - 0,001         - 0,0001          - 0,00001                                                            

                        f ( x )                               31          301              3001             30001             300001       

Tælleren går mod et tal der ikke er 0

Nævneren går imod 0                

Brøken går imod et større positivt tal 

                             

                                                                           Fra højre

                 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                     x                                   - 0,00009        - 0,00099       - 0,00999     - 0,09999      - 0,99999 

                 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------    

                   tæller:     ( x - 2 )             - 1,9999         - 2,00099         - 2,00999      - 2,09999      - 2,99990 

                  nævner : ( x + 1 )              0,99991         0,999901        0,990010       0,900001     1,000000 • 10-5

                   f ( x )                              - 2,00027       - 2,00297       - 2,03027       - 2,3332        - 299999 

Tælleren går imod et tal der ikke er 0

Nævneren går imod 1

Brøkken går imod et større negavtiv tal 

Jeg kan se at når x nærmer sig  -1 fra venstre bliver f ( x ) et større og større positivt tal og når x nærmer sig fra højre bliver f ( x ) et større  og større negativt tal:

Fra venstre side                      f ( x )  →  ∞         når     x  →  -1-

Fra højre side                         f ( x )   →  - ∞       når    x  →  -1 + 

Når jeg ser på grafen i svaret # 2 ser det ud til at det passer. 

Det betyder at i nærheden af  x = -1 er grafen næsten lodret også har funktionen f har en lodret asymptote i x = -1


Brugbart svar (1)

Svar #14
23. juni kl. 10:16 af Soeffi

#0. Du har en rationel funktion, dvs. en med et polynomium i tæller og nævner. Du skal fnde evt.  lodrette asymptoter. Gør følgende:

Find rødder i tæller og nævner.

I tilfælde af, at der er rødder i begge polynomier, så skriv tæller og nævner på formen: (x - r1)·(x - r2)···, hvor r1, r2,...er rødderne i det enkelte polynomium. Reducer herefter brøken. I de led, der står tilbage i nævneren,  erstatter du minus med lighedstegn og får derved de lodrette asymptoter. Dvs. x - r laves om til x = r.

I tilfælde af at der ikke er rødder i nævneren, så er der ingen lodret asymptote. 

Hvis et led på formen (x - r) kan forkortes ud i tæller og nævner, så svsrer det til, at der er et hul på grafen i det punkt.


Svar #15
23. juni kl. 14:38 af ca10

Tak for svaret


Skriv et svar til: Undersøge asymptote, Opgave 811

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.